Vectores

VECTORES
Definición Algebraica.-
Un vector V en el plano (x, y) es un par ordenado de números reales (a, b). Los números a ʌ b se denominan elementos o componentes del vector V. El vector cero es el vector de componentes (0, 0).
Vector Renglón o Fila.-
Un vector de n componentes se define como un conjunto ordenados de n números escritos de la siguiente manera.
(x1, x2,…, xn)Vectores Columna.-
Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera.
X1
X2
⁞
Xn

Intensidad Módulo o Magnitud.-
Es la distancia que existe entre su origen y su extremo. Para ello se utiliza Pitágoras.

En el plano IVI = magnitud v = (2 dimensiones)
En el espacio IVI = magnitud v =(3 dimensiones)
En “n” IVI = magnitud v = (n dimensiones)
Dirección.-
V=(a, b) como el ángulo Ѳ medido en radianes, que forma el vector con el lado Positivo y el eje X. Por su convención, se escoge tal que 0 ≤ Ѳ < 2π.
Su fórmula es:
Tang Ѳ =b/a

V = 5.83cm
Y
X
Magnitud
Dirección
310

Cálculo de la Magnitud.-

Cálculo de la Dirección.-

Suma devectores.-
Se define únicamente cuando los vectores son del mismo tamaño.

Entonces la suma de de y de el vector

Multiplicación de Vectores por un Escalar.-
Si U es (Ui) y α es un escalar, entonces la matriz del vector α esta dada por

Producto Escalar.-
Se llama con frecuencia producto punto o producto interno de los vectores
a1 b1
sean a = a2y b b2 dos vectores
⁞ ⁞
an bn

Entonces el producto escalar de a y b determinado para “a, b” esta dado por



Ejemplo:
Suponga que un fabricante fabrica 4 artículos, su demanda esta dada por el vector demanda
d = (30 20 40 10)
El precio por unidad que recibe el fabricante por los artículos esta dado por
$ 20
El vector deprecios p = $ 15
$ 18
$ 40

Si se cumple la demanda ¿Cuánto dinero recibe el fabricante?
Solución:
La demanda del primer artículo es 30 y el fabricante recibe $ 20 por cada artículo vendido. Por consiguiente recibe (30) ($ 20) = $ 600 de ventas del primer articulo. El total de dinero que recibe es:
(30)($ 20)+(20)($ 15)+(10)($ 40)=

600 + 300 + 720 + 400 = $ 2020

Se escribecomo: 20
(30 20 40 10) 15 = $ 2020
18
40

Se multiplico un vector renglón de 4 componentes y un vector columna de 4 componentes para obtener un escalar
MULTIPLICACION DE α v

Multiplicar un vector por un escalar diferente de cero, tiene el efecto de multiplicar la longitud del vector por el valor absoluto de ese escalar

Si α > 0 entonces cv esta en el mismocuadrante que r y por lo tanto la dirección de
α v es la misma que la dirección de v ya que:
tg Ϲ ab
αa
tg ¹ b Si α < 0
a

Entonces α v, tiene dirección opuesta a la de v

DIRECCION DE α v

Dirección de α v = dirección de v, si α > 0 Se mantiene
Dirección de α v = (dirección de v), π si α < 0, tiene direcciónopuesta

Regla de paralelogramo para suma de vectores.-
Se suman 2 vectores
u = (a1. b1) y v = (a2. b2)
u + v = (a1 + a2: b1 + b2) se puede obtener
trasladando la representación del vector v de manera que su punto inicial coincida el punto Terminal (a1, b1) del vector u. Por lo tanto se puede obtener el vector u+v dibujando un paralelogramo con u vértice en el origen y lados u y v. Entoncesu + v es el vector que va del origen a lo largo de la diagonal de paralelogramo.


Al igual que un segmento de recta es la distancia mas corta entre 2 puntos , se deduce que:
Desigualdad del triangulo │u + v │ = │u│ + │v│ |

Vectores especiales
Permite representar otros vectores en el plano de una forma conveniente . Se denota el vector (1.0) por el símbolo i y el vector (0, 1)...