vectorial

Capitulo V. Campo vectorial

V.I Funciones vectoriales de varias variables
V.II Derivada e integral de una función vectorial de varias variables
V.III Gradiente de una función vectorial de varias variables
V.IV Divergencia de una función vectorial de varias variables
V.V Rotacional de una función vectorial de varias variables
V.VI Laplaciano de una función vectorial de variasvariables









Capitulo V. Campo Vectorial
Los campos vectoriales son uno de los conceptos fundamentales de la física. Sin ellos es imposible entender el electromagnetismo, la óptica, o ramas más avanzadas de la física como la gravitación o la mecánica cuántica.
Hasta ahora, hemos trabajado con campos escalares, recordemos que campo escalar (o función escalar) es una función cuyodominio son puntos del plano o del espacio, y su conjunto imagen es un escalar. Un campo vectorial en cambio, es una función  que asocia a cada punto del plano o del espacio un vector. Un ejemplo de campo escalar sería la presión atmosférica sobre la tierra, que si la designamos con la letra P, tenemos una función de tres variables P(x,y,z). Para cada punto geográfico (identificado con una longitud,latitud y altitud) existe un valor numérico de la presión expresado en Pascales. En cambio, un ejemplo de campo vectorial sería la velocidad del viento en cada punto de la tierra. Dicha velocidad se expresa no solo con su valor, sino con la dirección en la que sopla el viento. Otros ejemplos de campos vectoriales:
1. Campo de velocidades de una rueda que gira alrededor de un eje.
2. Campo develocidades de un fluido dentro de un tubo.
3. Campos eléctricos.
4. Campos magnéticos

Definición:
Sea D un subconjunto de R2, un campo vectorial sobre R2 es una función que asigna a cada punto (x,y) de D un vector de dos dimensiones F(x,y).
Sea D un subconjunto de R3, un campo vectorial sobre R3 es una función que asigna a cada punto (x,y,z ) de D un vector de tres dimensiones F(x,y,z).Notación funcional:
Campo escalar
(x,y)  z = f(x,y)
z es una función de dos variables independientes, y su representación gráfica es una superficie en el espacio
Si la función es de tres variables independientes, la definimos como:

(x,y,z) w = f(x,y,z)
Vemos que cuando el dominio está incluido en R2o R3 a la función la llamamos campo.
Campo vectorial F : D R2 donde D  R2
(x,y) F(x,y) = M(x,y) i + N (x,y) j
Para D  R3, tenemos F: D  R3
(x,y,z)  F(x,y,z) = M(x,y,z) i + N (x,y,z) j + P(x,y,z) k
Donde F es la letra asignada al campo vectorial, las funciones M , N y P son funcionesescalares (campos escalares) de tres variables independientes, o de dos variables independientes para el caso de R2.
Un campo vectorial F, es continuo si sus componentes M, N y P son continuas, de la misma manera, será diferenciable, si lo son sus componentes.
Representación gráfica:
El conjunto imagen de un campo vectorial, es un conjunto de vectores del plano o del espacio. Para surepresentación consideramos algunos vectores representativos del campo.

Ejemplo 1: Ejemplo 2:
F(x,y) = x i + y j F(x,y) =

Se ha confeccionada una pequeña tabla de valores para cada ejemplo, para graficar algunos vectores de campo. Vemos que el origen de cada vector, es el punto(x,y). La dirección y sentido queda determinada por la función vectorial. En el ejemplo 2, la función no esta definida en el origen.
Si comparamos las representaciones de los ejemplos 1 y 2, vemos que en el segundo caso los vectores representativos del campo parecen ser tangentes a una circunferencia con centro en el origen, para confirmarlo podemos hacer el producto escalar de F con el vector...