Volumenes finitos

Método de volúmenes finitos. Ecuación de difusión unidimensional

Introducción

El método de volúmenes finitos es un procedimiento de discretizacion en el que se recorre el camino inverso al utilizado en la obtención de las ecuaciones diferenciales de transporte. En estas se parte de las relaciones integrales en un volumen fluido (finito), obteniéndose las relaciones para una partícula fluidaal reducir el volumen de integración hasta el asociado a esta (infinitesimal).
El método de volúmenes finitos recorre el sentido deductivo contrario obteniendo balances finitos a partir de los asociados a partículas infinitesimales. Para ello integra la ecuación diferencial original sobre un volumen finito, es decir, un trozo de intervalo (1D), superficie (2D) o volumen (3D) cuya forma concretadepende de la malla y del sistema coordenado que se esté empleando. Independientemente de la dimensionalidad del problema se sigue hablando de volúmenes finitos cuando uno se refiere a los trozos en los que se ha subdividido el dominio.
Lo que se acaba teniendo es un balance [entrada+ aportación (±) −→salida] en cada una de las zonas discretas en las que se ha subdividido el dominio global. Deaquí que el proceso comience con la decisión sobre el troceado del dominio, es decir, número, tamaño, y ratio de expansión/contracción de los volúmenes de discretizacion. Después de la integración el procedimiento postula variaciones internodales de la solución que permiten sustituir las derivadas por relaciones algebraicas entre valores nodales.

La mayor parte de estas notas describen dominiosunidimensionales por lo que en este apartado se incidirá particularmente en la disposición de nodos en dominios-línea. Se describirá la malla en la que el tamaño de volúmenes es constante, Δx, aunque la generalización a tamaño variable no entraña ninguna dificultad, y se trabajara con la ecuación de difusión de un escalar genérico φ, la disposición de otras variables aparte de los escalares secomentara posteriormente.
Existen dos modos fundamentales de inserción de nodos en dominios-línea que difieren en donde se colocan los nodos después del troceado. Si los nodos se colocan en los centros de los trozos se habla de disposición centrada en las celdas (cell-centered grid), mientras que si se colocan en los puntos de corte se denomina disposición centrada en los vértices (cell-vertexgrid). La distinción afecta sobre todo a la imposición de condiciones de contorno. En la figura se observan las dos disposiciones.

Para describir el proceso de integración sobre los volúmenes utilizaremos la disposición centrada en las celdas. La ecuación del escalar φ es

Siendo Γ el coeficiente dinámico de difusión, estrictamente positivo. En ocasiones se utiliza el coeficiente cinemática, α,cuya relación con el anterior es Γ = ρα. Las unidades de α son m2s−1 y las de Γ, kg m−1 s−1.

Sea un nodo genérico i colocado en el centro de su volumen correspondiente. La integración de la ecuación diferencial entre los extremos del intervalo proporciona

El flujo difusivo a través de las caras del volumen se denota por J, de unidades kg m−2 s−1 por las unidades de φ. Si φ es la fracción demezcla de una sustancia, cuyas unidades son kgr de sustancia por kgr de mezcla, el flujo J son kg de sustancia por m2 y por segundo. Colocando un cuadrado imaginario de 1m2 en la interfase entre dos volúmenes consecutivos, J representa los kgr de sustancia que pasan a través de ese cuadrado unidad por segundo, debido al mecanismo de difusión (choques moleculares).
La expresión general del flujodifusivo de una variable genérica φ es J = −Γ∇ φ y su particularización en una dimensión Jx = −Γdφ dx . La ecuación anterior establece que en ausencia de fuentes internas el flujo de salida de un volumen ha de ser igual al de entrada. Para finalizar el proceso de discretizacion deberemos sustituir las derivadas en las caras por relaciones algebraicas entre valores nodales. El modo más fácil de...