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Técnicas de integración y la integral definida
La integral definida.
*Suma de Riemann*. Es la suma del área total de un conjunto de subintervalos A encerrada por una curva y=f(x) con lospuntos w1, w2,……………,wn escogido arbitrariamente en un intervalo [a, b]. Esto es:
A=k=1nfwk∆xk con ∆xk=xk-xk-1 y b>a
Geométricamente:
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Nota: los intervalos A se denomina particióndel intervalo [a, b].
La integral definida es el límite de la suma de Riemann si existe, así:
abfxdx= lim∆xk→0k=1nf(wk)∆wk
Si f(x) es continua en [a, b], entonces f(x) es integrable en [a,b].
Demostración: de la definición de la integral definida, se tiene que:
abfxdx= lim∆xk→0k=1nf(wk)∆wk
Usando la definición de la suma de Riemann, podemos ver que:
∆x=b-an y n=b-a∆xAdemás
limn→∞∆x=limn→∞b-an=0 y lim∆x→0n=lim∆x→0b-a∆x=+∞
Tomando
wk=a+k(b-a)n con k=1,2,3,…………,n
Se tiene que
lim∆xk→0k=1nfwk∆xk= limn→∞k=1nfa+kb-an(b-an)
limn→∞(b-an) k=1nf(a+k(b-a)n)Si el límite existe, por consiguiente:
limn→∞b-ank=1nfa+ka-bn= abfxdx
Ejemplo:
Expresar 012x dx como
Limite de una suma
Utilizar el resultado para calcular la integral definidaSolución:
Tenemos: limn→∞b-ank=1nfa+ka-bn
así a=0, b=1, f(0+k(1-0)/n)=f(k/n)
∴ limn→∞1nk=1nf(kn)
limn→∞1nk=1nf(kn) con fkn= k2n2
limn→∞1nk=1nk2n2= limn→∞(12n3, 22n3,………, n2n3)= limn→∞12+22+…+n2n3= limn→∞nn+12n+1/6n3= 26= 13
Métodos de integración
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Del capítulo anterior, sabemos que este polinomio de interpolación es:
Integrandoeste polinomio, tenemos que:
Por lo tanto, tenemos que:
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Regla de Simpson
La función f(x) (azul) es aproximada por una función cuadrática P(x) (rojo).
En análisis numérico,la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:
{draw:frame} .
{draw:a}...