Zeros método newton

Práctica de zeros

Ejercicio 2:

Nos dan la siguiente función f(x) =
Nos sugieren usar estos puntos iniciales x0 = 0, 0.99, 4, 4.5, 5
Por que esos puntos?
Porque dibujando la gráfica de lafunción vemos que cerca de esos valores hay ceros.



Para encontrar los ceros necesitamos para el método de Newton necesitamos la derivada de la función y para la iteración simple el g(x).f ’(x) =

Hallamos g(x) despejando una x .
g(x) = 0.06064 / , comprobamos que con esta función el metodo convergerá calculando la derivada de g(x).
g ‘(x) = para x0 = 0 y x0 = 0.99la función convergera ya que
g’(0) y g’(0.99) < 1 .
Para usar iteración simle con x0 = 4, 4.5 , 5 tendremos que hallar otra g(x) despejando la x de otra manera.
Despejando de otra forma tenemosg(x) = - ln (0.06064 /x)
La derivada es g’(x) = 1/x y aquí vemos que g’(4), g’(4.5), g’(5) < 1 entonces este nuevo g(x) no serveria para esos tres puntos iniciales.
Cogemos como tolerancia0.000001 (10^-6)
Metemos las funciónes en el código que hemos escrito en el ejercicio 1 y estos son los resultados obtenidos:

Newton
Para x0 = 0 El resultado es: 6.4692635994795980e-002 en 4iteraciones.
Para x0 = 0.99 El resultado es: 6.4692635994780645e-002 en 92 iteraciones.
Para x0 = 4 El resultado es: 4.2496332143554776e+000 en 4 iteraciones.
Para x0 = 4.5 El resultado es:4.2496332143554776e+000 en 4 iteraciones.
Para x0 = 5 El resultado es: 4.2496332143554776e+000 en 5 iteraciones.

De los resultados obtenidos y viendo el gráfico no se ve nada raro. Lo único escomentar que para x0 = 0.99 tarda 92 iteraciones porque en ese punto la pendiente es casi paralela al eje de las x o lo que es lo mismo la derivada en ese punto es casi cero.
Por eso tarda mucho digamosen desequilibrarse.

Iteración simple
g(x) = 0.06064 /
Para x0 = 0 El resultado es: 6.4692631412624158e-002 en 6 iteraciones.
Para x0 = 0.99 El resultado es: 6.4692643610385306e-002 en 7...