C Lculo De Los Par Metros De La Distribuci N De Weibull

Cálculo de los Parámetros de la Distribución de Weibull
También se presentan dos ecuaciones para calcular el estimador Rango de mediana (ecuaciones 5 y 6), siendo esta última una forma aproximada y la que generalmente se usa en la literatura técnica. Ya que la ecuación (5) es más exacta, ésta es la que se emplea; para ello, y debido a su complejidad, se presenta el código fuente — en el lenguajeVBA (Visual Basic para Aplicaciones) — para crear una función definida por el usuario en Excel. Igualmente se usan las funciones PENDIENTE e INTERSECCIÓN.EJE, de Excel, para calcular la pendiente y el intercepto de la línea de regresión.
1. INTRODUCCIÓN
La distribución de Weibull es una distribución continua y triparamétrica, es decir, está completamente definida por tres parámetros y es la másempleada en el campo de la confiabilidad.
A pesar de la popularidad de esta distribución, en la revisión bibliográfica efectuada, la mayoría de los artículos y literatura técnica consultados se remiten a una distribución biparamétrica y, más aún, los ejemplos allí desarrollados presentan como datos conocidos los dos parámetros, generándose, así, las siguientes preguntas: ¿Cómo se calculan losparámetros? y ¿por qué se omite el cálculo del tercer parámetro? El tercer parámetro es el parámetro de localización, es decir, el parámetro que localiza la abscisa a partir del cual se inicia la distribución.
El objetivo del presente artículo es responder a las dos preguntas anteriores, presentando una de las cinco metodologías — analíticas — existentes para el cálculo de los parámetros y algunoscriterios para determinar si es necesario tener en cuenta el tercer parámetro.
El método que se presenta es el método de los Mínimos Cuadrados, por tres razones: la primera, es un método simple y expedito de aplicar; la segunda, la gráfica de los datos sirven como una prueba de bondad de ajuste de la distribución y, la tercera, da un indicio sobre si se debe calcular o no el parámetro de localización.Para una metodología gráfica, la cual hace uso del papel especial llamado papel de probabilidad de Weibull, véanse las referencias [5], [6]
2. EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA DISTRIBUCIÓN
La función de densidad de la distribución de Weibull para la variable aleatoria t está dada por la siguiente expresión:

Donde
t: Variable aleatoria que, para el caso de la confiabilidad, representa el tiempo entrefallas.
β: Parámetro de forma (0<β<∞)
θ: Parámetro de escala (0<θ<∞)
δ: Parámetro de localización (-∞δ<∞)
El parámetro beta, como su nombre indica, determina la forma — o perfil— de la distribución, la cual es función del valor de éste.
El parámetro theta indica la escala de la distribución, es decir, muestra que tan aguda o plana es la función.
El parámetro delta indica, en el tiempo, el momento apartir del cual se genera la distribución.
Una distribución biparamétrica está completamente definida por los parámetros de forma y de escala.
La función confiabilidad R (t) de Weibull se determina por la siguiente expresión:
 
La función distribución acumulativa F (t) es el complemento de la función confiabilidad y se define de la siguiente manera:

De la expresión anterior, se concluye que lafunción distribución acumulativa se puede interpretar como la probabilidad de falla.La relación entre la función confiabilidad y la función probabilidad de falla se muestra en la figura 1.

3. DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS POR EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
Como se mencionó en el numeral uno, existen cinco métodos para calcular los parámetros de la distribución de Weibull. Ellos son:
Mínimoscuadrados.
Gráfico de la función tasa de falla.
Máxima similitud.
Estimación de momentos.
Estimadores lineales.
Para ilustrar el método de los mínimos cuadrados, se desarrollará paso a paso un ejemplo.
El método de los mínimos cuadrados permite calcular los parámetros de forma y escala, mediante la transformación doble logarítmica de la función de distribución acumulativa (ecuación 3). El...