Estabilidad de Sistemas

Estabilidad de Sistemas

Definiciones de Estabilidad.
a) En el Dominio del Tiempo. Un sistema es estable si y sólo si para toda entrada acotada se produce una salida acotada. Así, en el caso de los dos sistemas siguientes cuyas funciones de transferencia totales (relación entre la salida y la entrada), son F1 y F2, respectivamente, para iguales entradas acotadas r(t) que se muestran, resultaque el sistema F1 es estable mientras que F2 es inestable.























b) En el dominio de la frecuencia compleja s. Para explicar el criterio básico de estabilidad en el dominio de s, comencemos por decir que la función de transferencia de un sistema lineal tiene la forma del cuociente entre dos polinomios en s, es decir, en general:


Que, recordando ladescomposición en fracciones parciales (F.P.), se puede poner como:


Donde: , son las raíces del denominador de F(s).
Supongamos una excitación igual a la función impulso: :
Entonces:
Luego: ,

De modo que:
Observando la forma general de F(s), descompuesta en F.P., la salida resultará:



Por lo tanto, la estabilidad del sistema representado por F(s) dependerá de la acotabilidad def(t), lo que a su vez dependerá de los signos de los si .

En general, los si son complejos. Si las partes reales de todos los si son menores que cero, la respuesta desaparecerá en el tiempo; luego, tendremos una salida acotada y el sistema será estable. Por ejemplo:



Es acotada, luego F1(s) es estable. Pero si la parte real de, al menos una de las si es mayor que cero, la respuestacrecerá indefinidamente en el tiempo; es decir, tendremos una salida no-acotada y el sistema será inestable. Por ejemplo:



No es acotada, ya que cuando t ∞ los dos términos centrales de f2(t) , que corresponden a una senoide que crece exponencialmente, tienden a , además el último término corresponde a una exponencial que también tiende a ∞ cuando t ∞, por lo tanto, f2(t) es no acotada y elsistema cuya F.T. es F2(s) será inestable.

Por lo tanto, el estudio de la estabilidad de un sistema lineal equivale al estudio de los signos de las raíces de la ecuación característica. Geométricamente esto significa investigar la localización de las raíces y verificar si éstas se encuentran en el hemiplano izquierdo del plano s.

Estabilidad en un sistema con realimentación. Consideremos unsistema realimentado (que corresponde a un caso simple de control con realimentación negativa):










Se tendrá que: E(s) = I(s) – H(s)O(s), es la  de la señal de error. Además sabemos que la salida en el dominio de s será:
,

En este caso, recordando que en general:
,
tendremos que la función de transferencia total del sistema será de la forma:

,
que, en definitiva, podráponerse como el cuociente de dos polinomios en s, como sigue:



Para verificar la estabilidad del sistema se puede estudiar la respuesta a la entrada escalón unitario, o sea: ,
Entonces:
y:
Aquí puede verse que la situación es similar a la planteada anteriormente, sólo que aparece el término adicional K0/bn que es la respuesta de régimen permanente (cuando t ∞ y los demás términosdesaparecen, en el caso de que el sistema sea estable).

Un término arbitrario de la respuesta es, para un sk = σ + jωk, correspondiente a uno de los binomios:


Según sea el valor de la parte real de la raíz k-ésima, se pueden presentar los siguientes casos:

a) si crecerá indefinidamente,
b) si se hace cero cuando t ∞,
c) si se hace oscilante con amplitud constante.

Lascondiciones (a) y (c) se consideran inestables, mientras que (b) corresponden a un sistema estable. Las raíces del polinomio característico son los polos de T(s) ya que hacen ∞ a T(s) y corresponden a los ceros del denominador de T(s), o sea, son los ceros del polinomio formado por: 1 + G(s)H(s).

En resumen, el sistema será estable si los ceros de 1 + G(s)H(s) tienen parte real negativa. El problema...