N Meros Complejos Sadiku

Extraído para fines didácticos de la obra: Fundamentos de Circuitos Eléctricos de Alexander/Sadiku

Apéndice B
Números complejos
La capacidad de manipular números complejos es muy útil en el análisis de
circuitos y en la ingeniería eléctrica en general. Los números complejos son
particularmente útiles en el análisis de los circuitos de ca. También en este
caso, a pesar de que las calculadoras ylos paquetes de software pueden conseguirse en la actualidad para manejar números complejos, sigue siendo aconsejable para el estudiante familiarizarse con la manera en que éstos se utilizan
en forma manual.

B.1

Representaciones de números complejos

Un número complejo z puede escribirse en forma rectangular como
z ϭ x ϩ jy
(B.1)
donde j ϭ 1Ϫ1; x es la parte real de z, en tanto que y es la parteimaginaria de z; es decir,
x ϭ Re(z), y ϭ Im(z)
(B.2)
El número complejo z se muestra al graficar en el plano complejo en la figura B.1. Puesto que j ϭ 1Ϫ1,
1
j
j2
j3
j4
j5

El plano complejo se asemeja al
espacio curvilíneo coordenado en dos
dimensiones, sin embargo, no lo es.

Im

ϭ Ϫj

z

jy

ϭ Ϫ1
ϭ j ؒ j 2 ϭ Ϫj
ϭ j2 ؒ j2 ϭ 1
ϭ j ؒ j4 ϭ j
o
nϩ4
ϭ jn
j

r

(B.3)

y
␪

0

x

Re

Figura B.1Representación gráfica de un número
complejo.

Una segunda forma de representar el número complejo z es especificando su magnitud r y el ángulo f que forma con el eje real, como se indica en
la figura B.1. Esto se conoce como la forma polar. Y está dada por
z ϭ 0z 0 lu ϭ rlu

(B.4)

donde
r ϭ 2x2 ϩ y2,

u ϭ tan Ϫ1

y
x

(B.5a)

o sea
x ϭ r cos u,

y ϭ r sen u

(B.5b)

esto es,
z ϭ x ϩ jy ϭ rlu ϭ r cos uϩ jr sen u

(B.6)
A-9

Apéndice B

A-10

Números complejos

Al convertir la forma rectangular a la polar utilizando la ecuación (B.5), debe tenerse cuidado al determinar el valor correcto de ␪. Éstas son las cuatro
posibilidades:

En la forma exponencial, z ϭ re j␪ de
manera que, dz /d␪ ϭ jre j␪ ϭ jz.

y
x

z ϭ x ϩ jy,

u ϭ tanϪ1

z ϭ Ϫx ϩ jy,

u ϭ 180Њ Ϫ tan Ϫ1

y
x

Segundo cuadrante

z ϭ Ϫx Ϫjy,

u ϭ 180Њ ϩ tan Ϫ1

y
x

Tercer cuadrante

z ϭ x Ϫ jy,

u ϭ 360Њ Ϫ tan Ϫ1

y
x

Cuarto cuadrante

Primer cuadrante

(B.7)

suponiendo que x e y son positivas.
La tercera forma de representar el número complejo z es la forma exponencial:
z ϭ re j␪

(B.8)

Ésta es casi igual que la forma polar, porque se usa la misma magnitud r y
el ángulo ␪.
Las tres formas de representar un número complejo seresumen del modo siguiente:
z ϭ x ϩ jy,

(x ϭ r cos u, y ϭ r sen u )

z ϭ rlu,

y
ar ϭ 2x2 ϩ y2, u ϭ tan Ϫ1 b Forma polar
x

z ϭ re ju,

y
ar ϭ 2x2 ϩ y2, u ϭ tan Ϫ1 b Forma exponencial
x

Forma rectangular

(B.9)
Las primeras dos formas se relacionan mediante las ecuaciones (B.5) y (B.6).
En la sección B.3 se deducirá la fórmula de Euler, la cual demuestra que la
tercera forma es tambiénequivalente a las dos primeras.

Ejemplo B.1

Exprese los números complejos siguientes en forma polar y exponencial:
a) z1 ϭ 6 ϩ j8, b) z2 ϭ 6 Ϫ j8, c) z3 ϭ Ϫ6 ϩ j8, d) z4 ϭ Ϫ 6 Ϫ j8.
Solución:
Nótese que se ha escogido deliberadamente estos números complejos para que
se ubiquen en los cuatros cuadrantes, como se ilustran en la figura B.2.
a) Para z1 ϭ 6 ϩ j8 (primer cuadrante),
r1 ϭ 262 ϩ 82 ϭ 10,

8
u1ϭ tan Ϫ1 ϭ 53.13Њ
6

Por consiguiente, la forma polar es 10l53.13Њ y la forma exponencial correspondiente es 10e j53.13°.
b) Para z2 ϭ 6 Ϫ j8 (cuarto cuadrante),
r2 ϭ 262 ϩ (Ϫ8)2 ϭ 10,

8
u2 ϭ 360Њ Ϫ tan Ϫ1 ϭ 306.87Њ
6

Apéndice B

Números complejos

de manera que la forma polar es 10l306.87Њ y la forma exponencial es 10e j306.87°.
El ángulo ␪2 también puede considerarse como Ϫ53.13º, como semuestra en
la figura B.2, por lo que la forma polar se vuelve 10lϪ53.13Њ y la forma exponencial viene a ser 10eϪj53.13°.
c) Para z3 ϭ Ϫ6 ϩ j8 (segundo cuadrante),
r3 ϭ 2(Ϫ6) ϩ 8 ϭ 10,
2

2

u3 ϭ 180Њ Ϫ tan

Ϫ1 8

6

A-11

r4 ϭ 2(Ϫ6) ϩ (Ϫ8) ϭ 10,
2

u4 ϭ 180Њ ϩ tan

j4
␪4

ϭ 126.87Њ

Ϫ1 8

6

−8 −6 −4
r4

␪3

␪1

j2

−2
0
−j2
−j4

r1

2

4

6

␪2
r2

−j6
z4

ϭ 233.13Њ

z1

j6
r3

Por consiguiente,...