S oLIDOS PLAT oNICOS

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
● Ángulo Diedro:​
 138, 189685° 
● Propiedades:​
 Deltaedro Regular Convexo 
  
 
 

Realización: 

 

 
Ejemplos 
 
     Icosaedro Romano
truncado)
 

Lámparaa

        Balon de futbol (icosaedro 

 

 

 
          Escultura

  Escultura

Casas de Campaña 

 
 

 

 
 
Hexaedro #3 
 

 
Un  cubo  o hexaedro regular es un ​
poliedro de ​
seis  caras ​
cuadradas congruentes, siendo uno 
de los llamados ​
sólidos platónicos​
. 
Un  cubo,  además  de  ser  un  hexaedro,  puede  ser  clasificado  también  como  ​
paralelepípedo​
, 
recto  y  rectángulo,  pues todas  sus  caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos, e incluso 
como un ​
prisma​ de base cuadrangular y altura equivalente al lado de la base. 

 
Hexaedro regular o mayor conocido es como el CUBO,  
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●
●

6 caras iguales 
8 vértices 
12 aristas 

 
Es uno de los sólidos platónicos más conocidos. 
Además puede ser clasificado tambien como paralelepipedo, recto y rectangulo. 
 

 
SIMETRÍA 
 
Un hexaedro regular (o cubo) tiene tres ​
ejes de simetría​
 de orden cuatro: las rectas perpendiculares a cada par de caras paralelas por su punto medio; cuatro ejes de simetría de 
orden tres: las rectas que unen los centros de los vértices opuestos;6 ejes de simetría de 
orden 2 que unen los centros de las aristas opuestos; nueve ​
planos de simetría​
; tres 
paralelos a cada par de caras paralelas por el punto medio de las aristas que las unen, y seis 
formados por los pares de aristas opuestas; y un ​
centro de simetría​. Esto hace que este 
cuerpo tenga un ​
orden de simetría​
 total de 48. 
 
 

UTILIZACIÓN DEL HEXAEDRO 
 
 

Es quizá el más utilizado, podemos encontrarlo en objetos tan variados de uso 
común así como en la arquitectura o en nuestros alimentos. 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

DODECAEDRO 
 

 
 

Es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. 
 
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Poliedro regular 
Poliedro convexo 
Pentágonos 

 
Sus características son: 
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●
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Tiene 12 caras 
Cada cara tiene 5 aristas, y es de hecho un pentágono 
Tiene 30 aristas 
Tiene 20 vértices (puntos en las esquinas) y en cada vértice coinciden 3 aristas 

 
 
 

VOLUMEN Y ÁREA 
  
 
 
             Área de la superficie 
 
3×√(25+10×√5) × (Longitud de la arista)2   
 
               Volumen 
 
 
(15+7×√5)/4 × (Longitud de la arista)3 
 
 
 
 

 
 

 

 
 
 
 
 
 
Información del dodecaedro 
Historia 
Las propiedades de estos poliedros son conocidas desde la antigüedad clásica, hay 
referencias a unas bolas neolíticas de piedra labrada encontradas en Escocia 1000 
años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos en Los elementos de Euclides. Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicas o 
mitológicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado por 
tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún 
es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que 
sirva de límite al mundo». Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, y fuentes (como Proclo) atribuyen a Pitágoras su descubrimiento. 
 
 
 
 
 

Su presencia en el Dodecaedro 
 

 

 
 
 
Entre los sólidos platónicos, estos dos participan de la proporción áurea en diversas 
cosas. Por ejemplo, en el Dodecaedro, la arista es sección áurea de la diagonal de 
cara, y ésta lo es de la distancia entre aristas opuestas. Si lo colocamos sobre una cara, las alturas de los vértices intermedios seccionan en sentido alterno la altura total. 
Visto desde arriba, los radios de las circunferencias que pasan por los vértices de las 
bases y por los vértices intermedios, están en razón áurea. 
  
  
  
  
  

 
 
 
Aplicaciones y ejemplos
 
 

●

En los juegos de rol el dado de doce 

        caras es un dodecaedro regular.  ...