T de student

DISTRIBUCION t DE STUDENT En muchas ocasiones no se conoce σ y el número de observaciones en la muestra es menor de 30. En estos casos, se puede utilizar la desviación estándar de la muestra s como una estimación de σ, pero no es posible usar la distribución Z como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es la distribución t. Sus aplicaciones en la inferencia estadística son paraestimar y probar una media y una diferencia de medias (independiente y pareada). Características de la distribución t de Student 1. Al igual que la distribución Z, es una distribución continua 2. La distribución t tiene una media de cero, es simétrica respecto de la media y se ν extiende de - ∞ a + ∞ la varianza de t ν − 2 para ν > 2. Cuando los grados de libertad son suficientemente grandes lavarianza de la distribución t tiende a 1.
3. Tiene forma acampanada y simétrica 4. No hay una distribución t, sino una "familia" de distribuciones t. todas con la misma media cero, pero con su respectiva desviación estándar diferente de acuerdo con el tamaño de la muestra n. Existe una distribución t para una muestra de 20, otra para una muestra de 22, y así sucesivamente. 5. La distribución t esmás ancha y más plana en el centro que la distribución normal estándar como resultado de ello se tiene una mayor variabilidad en las medias de muestra calculadas a partir de muestras más pequeñas. Sin embargo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la distribución normal estándar.

α

t Formalmente una variable T con distribución t de Student osimplemente distribución t se define de la forma siguiente
al sustituir en la fórmula

t

=

n ( X − µ) s

t=

X −µ s n

con ν = n-1 grados de libertad

Grados de Libertad Existe una distribución t distinta para cada uno de los posibles grados de libertad. ¿Qué son los grados de libertad? Podemos definirlos como el número de valores que podemos elegir libremente. PROBLEMA RESUELTO DE LADISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS 2 CON σ DESCONOCIDA Y n < 30 El gerente de una fábrica de cierto tipo de alimentos asegura que el peso promedio del producto que elabora es de 165,285 g. Un inspector toma una muestra de 16 paquetes del producto y los pesa. Los resultados fueron los siguientes: 165 158,153, 162, 171, 175, 173, 169, 166, 170, 164, 177, 148, 167, 152, 149. Encuentre la probabilidad de x <163.6875.
1. Establecer datos n =16 µ = 165.285 gr P( x < 163.6875) = ? s = 9.24 2. Aplicar la fórmula para estandarizar los valores de x . x −µ t= s

n
3. Elaborar gráfica del problema

163.6875

165.285

4. Encontrar el valor de t

t=

163.6875 − 165.285 − 1.5975 = = − .691 9.24 2.31 16

5. Encontrar la probabilidad del valor de t utilizando la tabla g.l = 15 P ( t < -.691 )=.250 6. Conclusión: La probabilidad de que la media sea menor de 163.6875 es de .250

PROBLEMAS PROPUESTOS DE LA DISTRIBUCION MUESTRAL DE 2 MEDIAS CON σ DESCONOCIDA Y n < 30 1. De una población normal, con media poblacional de 47, se toma una muestra aleatoria de tamaño 25. Si la desviación muestral tiene un valor de 14.61, calcule la probabilidad de que la media muestral tenga un valor menor que42.
2. La resistencia a la tensión para cierto tipo de alambre se distribuye normalmente con media desconocida y varianza desconocida. Se seleccionaron al azar 6 segmentos de alambre de un rollo grande y se midió Xi, la resistencia a la tensión para el segmento i. Encuentre la probabilidad de que la media muestral esté a lo mas a 2S/√n de la verdadera media poblacional 3. El gerente de unauditorio está considerando la posibilidad de aumentar la capacidad de asientos y necesita conocer el número promedio de personas que asisten a los eventos así como la variabilidad. En la tabla siguiente se muestra la asistencia (en miles de personas) a 9 eventos deportivos: 8.8 14.0 21.3 7.9 12.5 20.6 16.3 14.1 13.0

Calcule la probabilidad de que la media poblacional sea mayor de 15.23 4. Suponga...