álgebra lineal

Espacio vectorial

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Espacio vectorial
Definición. Un conjunto  no vacío con una operación binaria suma,
+ :  ×  → , y una multiplicación por un escalar de un campo , ⋅ :  ×  → ,

es un espacio vectorial sobre  si cumple las siguientes propiedades:
Para la suma
u + (v + w) = (u + v) + w para toda
u , v, w ∈ 

Para la multiplicación por escalar
λ ⋅ (u + v) = λ ⋅ u + λ ⋅ vpara toda λ ∈  y
u , v∈ 

Existe 0 ∈  tal que u + 0 = u para toda
u ∈ , 0 es llamado el cero o neutro de

(α + β ) ⋅ u⋅ = α ⋅ u + β ⋅ u para toda
α, β ∈ y u ∈



Para cada u ∈  existe − u ∈ , tal que
u + (−u ) = 0 , − u es llamado el inverso de
u
u + v = v + u para toda u, v ∈ 

α ⋅ ( β ⋅ u ) = (α ⋅ β ) ⋅ u para toda α , β ∈ 
y u ∈
1 ⋅ u = u para toda u ∈  y 1 ∈ Los elemento de  se llaman vectores y los elementos del campo  escalares.

Si  = , el campo de los números reales, y si  es un espacio vectorial sobre ,
entonces  es un espacio vectorial real. Análogamente, si  es un espacio vectorial
sobre , el campo complejo, entonces  es un espacio vectorial complejo.
Ejemplos.
A.1 Un campo  es un espacio vectorial sobre el mismo campo .
A.2Espacio vectorial coordenado. El producto cartesiano

 =  ×  ×  × K ×  = { ( a1 , a 2 , a3 , K, an ) ai ∈  1 ≤ i ≤ n } =  n con la suma

( a1 , a2 , a3 , K, an ) + ( b1 , b2 , b3 , K, bn ) = ( a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 , K, an + bn ) y
producto por un escalar λ ⋅ ( a1 , a 2 , a3 , K, a n ) = ( λ ⋅ a1 , λ ⋅ a 2 , λ ⋅ a3 , K, λ ⋅ a n ) con
λ ∈ , es un espacio vectorial sobre . Esteespacio se llama espacio vectorial

coordenado y se tiene la propiedad fundamental

( a1 , a2 , a3 , K, an ) = ( b1 , b2 , b3 , K, bm )

si, y sólo si, n = m y ai = bi para i = 1, 2, 3, K, n .

Joel Cruz Ramírez

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Ejercicios.
1.- Tras verificar las propiedades de espacio vectorial para cada conjunto inferir
que

1.1.  2 =  ×  = { ( a1 , a 2 ) ai ∈  1 ≤i≤ 2 }

( a1 , a2 ) + ( b1 , b2 ) = ( a1 + b1 , a2 + b2 )
y producto por un escalar λ ⋅ ( a1 , a 2 ) = ( λ ⋅ a1 , λ ⋅ a 2 ) con λ ∈ , es un espacio
con la suma

vectorial sobre .
1.2.  3 =  ×  ×  = { ( a1 , a 2 , a3 ) ai ∈  1 ≤i ≤ 3 }

con la suma ( a1 , a 2 , a3 ) + ( b1 , b2 , b3 ) = ( a1 + b1 , a 2 + b2 , a3 + b3 )

y producto por un escalar λ ⋅ ( a1 , a 2 , a3 ) = ( λ ⋅ a1 ,λ ⋅ a 2 , λ ⋅ a3 ) con λ ∈ , es un
espacio vectorial sobre .

1.3.  4 =  ×  ×  ×  = { ( a1 , a 2 , a3 , a 4

)

ai ∈  1 ≤ i ≤ 4 }

con la suma ( a1 , a 2 , a3 , a 4 ) + ( b1 , b2 , b3 , b4 ) = ( a1 + b1 , a 2 + b2 , a3 + b3 , a 4 + b4 )

y producto por un escalar λ ⋅ ( a1 , a 2 , a3 , a4 ) = ( λ ⋅ a1 , λ ⋅ a 2 , λ ⋅ a3 , λ ⋅ a 4 ) con λ ∈ ,
es un espacio vectorial sobre .1.4.  2 =  ×  = { ( a1 , a 2 ) ai ∈  1 ≤i ≤ 2 }

con la suma ( a1 , a 2 ) + ( b1 , b2 ) = ( a1 + b1 , a 2 + b2 )

y producto por un escalar λ ⋅ ( a1 , a 2 ) = ( λ ⋅ a1 , λ ⋅ a 2 ) con λ ∈ , es un espacio
vectorial sobre .
1.5.  3 =  ×  ×  = { ( a1 , a 2 , a3 ) ai ∈  1 ≤i ≤ 3 }

con la suma ( a1 , a 2 , a3 ) + ( b1 , b2 , b3 ) = ( a1 + b1 , a 2 + b2 , a3 + b3 )

y producto por unescalar λ ⋅ ( a1 , a 2 , a3 , a 4 ) = ( λ ⋅ a1 , λ ⋅ a 2 , λ ⋅ a3 , λ ⋅ a 4 ) con λ ∈ , es
un espacio vectorial sobre .
1.6.  4 =  ×  ×  ×  = { ( a1 , a 2 , a3 , a 4

)

ai ∈  1 ≤ i ≤ 4 }

con la suma ( a1 , a 2 , a3 , a 4 ) + ( b1 , b2 , b3 , b4 ) = ( a1 + b1 , a 2 + b2 , a3 + b3 , a 4 + b4 ) y

producto por un escalar λ ⋅ ( a1 , a 2 , a3 , a 4 ) = ( λ ⋅ a1 , λ ⋅ a 2 , λ ⋅ a3 ,λ ⋅ a 4 ) con λ ∈ , es
un espacio vectorial sobre .
1.7.  2 =  ×  = { ( a1 , a 2 ) ai ∈  1 ≤i ≤ 2 }

con la suma ( a1 , a 2 ) + ( b1 , b2 ) = ( a1 + b1 , a 2 + b2 ) y producto por un escalar

λ ⋅ ( a1 , a2 ) = ( λ ⋅ a1 , λ ⋅ a 2 ) con λ ∈ , es un espacio vectorial sobre .

Joel Cruz Ramírez

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1.8.  3 =  ×  ×  = { ( a1 , a 2 , a3 ) ai ∈  1 ≤i ≤ 3...