Álgebra Lineal

INSTITUTO TECNOLOGICO

DE TUXTEPEC

ASIGNATURA:
ALGEBRA LINEAL
TRABAJO
TRANSFORMACIONES LINEALES
CATEDRATICO:
ARTURO HERNANDEZ
ALUMNOS:
JOSE GABRIEL VIRGEN LUNA
SEMESTRE:
3°B
ESPECIALIDAD:
ING CIVIL

TUXTEPEC; OAX

5.1 INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.

La transformación lineal es una función utilizada para la asignación de un espacio vectorial a otro espaciovectorial con la ayuda de los escalares, la cual satisface la expresión f(a*x+b*y) =a*f(x)+b*f(y).
En otras palabras, se consideran 2 espacios vectoriales, V y W. Una transformación lineal es una gráfica T: V→ W que satisface dos condiciones:
1). T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) donde v1 y v2 son vectores en V. 2). T (xV) = x T (v) donde x es una escala.
Una transformación lineal puede sersobreyectiva o inyectiva. En el caso que, W y V tengan dimensiones idénticas, entonces T puede llegar a ser invertible, esto es, se encuentra T-1 el cual satisface la condición TT-1 = I. Asimismo, T (0) será siempre 0.

La teoría de la matriz entra en la teoría de las transformaciones lineales porque es posible representar cada transformación lineal como matriz. La multiplicación de matrices puedeconsiderarse como el ejemplo principal que puede demostrar el concepto de transformación lineal. Una matriz A de dimensión n x m define que T (v) = Av y aquí v es representado como un vector columna. Veamos un ejemplo:
Aquí, la transformación lineal t es definida como T (x, y) = (y, −2x + 2y, x). En el caso que, V y W sean de dimensión finita, la transformación lineal está mejor representada conla multiplicación de matrices en lugar de estableciendo la base del espacio vectorial, tanto para W y V. En el caso que, W y V incluyan un producto escalar y también los espacios vectoriales correspondientes y que W y V sean ortonormales, será simple representar la matriz correspondiente.
Mientras que w y v son de dimensión infinita, la transformación lineal puede ser continua. Por ejemplo,considera que un espacio polinómico de 1 variable sea v y T una derivada. Entonces, T (xn) = nxn-1, una no continua como xn/n = 0 mientras que T (xn)/n no converge.
El resultado de la suma de 2 o más transformaciones lineales, la multiplicación de una transformación lineal por número particular, y la multiplicación de 2 transformaciones lineales, son siempre transformaciones lineales. Unatransformación lineal en la cual su identidad es descrita en el espacio euclidiano siempre es auto-adjunta en el caso de que la matriz A correspondiente sea simétrica en cualquier base ortonormal. Una transformación lineal que es auto-adjunta y se describa en una dimensión finita unitaria, el espacio (euclidiano) contiene una base ortonormal en la cual su matriz lleva una forma diagonal.
Existen dos espaciosfundamentales que están asociados a una transformación lineal: su kernel ker(T) y su imagen im(T). El kernel y la imagen de una transformación lineal T corresponden con el espacio nulo y el espacio de la columna de cualquier matriz que represente a T.
En un sistema lineal, el número de variables es igual al número de variables libres más el número de variables angulares, quedando unatransformación lineal final T: V→ W en la identidad dim V = dim ker(T) dim im(T). Si dim ker(T) = 0 y dim im(T) = dimW, entonces t esta sobre y uno a uno. En este caso, esto se denomina un isomorfismo.

5.2 NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL.

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K y T una transformación lineal de V en W. El núcleo o kernel de Tes:

N ( T ) ( Ker T ) = { v Î V : T ( v ) = 0 w }
Si T: V -> W es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:




Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los...