Álgebra. Secciones cónicas y cuádricas

Álgebra: Cónicas y Cuádricas
Antonio Garvín
Curso 05/06
Las cónicas y las cuádricas responden a un modelo general, son basicamente polinomios de grado  en dos y en tres variables. Como todos los polinomios de grado dos en varias variables tienen una parte cuadrática, una parte lineal, y una parte constante. Si se quiere ver así, es suma de una forma cuadrática y de una forma afín. Se puedenexpresar por tanto como 

SECCIONES CONICAS
Las tres secciones cónicas son: elipse, parábola e hipérbola. La circunferencia es un caso particular de elipse. Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice.

Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del planotales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos: • Centro, O• Eje mayor, AA´• Eje menor, BB´• Distancia focal, OFLa elipse tiene la siguiente expresión algebraica:

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamadosfocos, es constante y menor que la distancia entre los focos. Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras. Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:• Centro, O• Vértices, A y A• Distancia entre losvértices• Distancia entre los focos .La ecuación de una hipérbola con centro (0, 0), es:

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz. Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:• Eje, e• Vértice, V• Distancia de F a d, p. Una parábola, cuyo vértice estáen el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación:

La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 1000 (Menæchmus) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto».1 Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras;estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc
MARTES, 24 DE NOVIEMBRE DE 2009
Funciones conicas.
Elipse

Si un plano corta todo un manto del cono y no es perpendicular al eje de dicho cono, entonces la curva formada por la intersección se llama elipse. 

Esta es una imagen de un elipse:

ELIPSE
La elipse es el lugargeométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menorgenera un esferoide achatado,mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:
Donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:
En coordenadas polares una elipse (centrada en uno de sus focos) viene definida por la ecuación:
La ecuación paramétrica de una elipse es:
Con , y donde el ángulo θ se puede interpretar como el ángulo polar.

Parábola
Si un plamo corta a uno de los mantos de un...