álgebra vectorial


ÁLGEBRA VECTORIAL

CANTIDAD ESCALAR
Es aquella que sólo posee magnitud.

CANTIDAD VECTORIAL
Es aquella que posee magnitud, dirección y sentido. A los vectores se les representa con una línea arriba de la letra (testa).

SEGMENTO DIRIGIDO
Es el segmento de recta en el que se asigna un punto origen y un punto extremo. En forma gráfica un segmento se representa con una flecha. En la siguientefigura el punto origen es A y el punto extremo es B.








REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE UN VECTOR
Un vector tiene magnitud, dirección y sentido, pero no importa su posición en el espacio, por lo que puede representarse con el segmento dirigido que convenga (vectores libres).

REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR
Para representar analíticamente a un vector en el espacio se usa una terna ordenada denúmeros reales = () a los cuales se les denomina componentes escalares del vector o números directores del vector.

COMPONENTES ESCALARES DE UN VECTOR
Sea el vector = (). Si dicho vector se representa por el segmento dirigido donde su punto origen es A() y su punto extremo B(), las componentes escalares del vector son , y .

VECTOR NULO
Se llama vector nulo o vectorcero a = (0, 0, 0). El vector nulo tiene magnitud nula y no tiene definida su dirección ni su sentido.



VECTOR DE POSICIÓN
Se llama vector de posición de un punto
P () aquel que tiene su origen en el origen de coordenadas y su punto extremo en el punto P, por lo que las componentes escalares del vector de posición del punto P son iguales a las coordenadas de P, es decir, = ().

MAGNITUD OMÓDULO DE UN VECTOR
La magnitud, módulo o norma de un vector es el “tamaño” de cualquier segmento dirigido que lo representa. La determinación del módulo puede hacerse por métodos gráficos; en forma analítica se obtiene de la siguiente manera:
|| =
donde , y son las componentes escalares del vector.

VECTOR UNITARIO
Un vector es unitario si su módulo es igual a la unidad.
Los vectores unitarios i= (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) son muy útiles en el álgebra vectorial y son tan conocidos que se permite dejar de escribir la línea superior arriba de las letras i, j o k.

Es posible convertir cualquier vector en uno unitario de acuerdo con lo siguiente:
sea el vector no nulo = (). Un vector unitario con la misma dirección y sentido que es
()







ÁNGULOS DIRECTORES DEUN VECTOR
Son los que forma un segmento dirigido que representa a dicho vector con los ejes coordenados. Los ángulos directores varían entre y , y permiten determinar la dirección y sentido de un vector.








COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR
Son los cosenos de sus ángulos directores. Se obtienen de la siguiente manera:



Un coseno director puede ser positivo, negativo o nulo,dependiendo de que su ángulo director correspondiente sea agudo, obtuso o recto, respectivamente.
Si un coseno director es igual a 1, el ángulo director es , y si el coseno director es -1, el ángulo director es .
Los vectores unitarios i, j, k tienen la dirección y el sentido de los ejes de las abscisas, de las ordenadas y de las cotas, respectivamente.
Un vector nulo no tiene dirección y susentido es indeterminado.

TEOREMA
Sea el vector no nulo = (). Entonces sus cosenos directores cumplen con
= 1

COROLARIO.- Un vector unitario tiene por componentes escalares sus cosenos directores.





IGUALDAD DE VECTORES
Dos vectores = () y = () son iguales si y sólo si = = , = .

ADICIÓN DE VECTORES
La adición de dos vectores es la operación entre
= () y = () /
+ = (+ + , + )PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE VECTORES
Sean los vectores = (), = () y = ()
1) cerradura + es un vector
2) asociatividad + ( + ) = ( + ) +
3) elemento idéntico = (0, 0, 0) / + =
4) elementos inversos - / + (-) =
5) conmutatividad + = +


REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA ADICIÓN DE VECTORES
1.- Regla del paralelogramo.





2.- Regla del triángulo....