07 Procesos Estocasticos

Capítulo 7
Generación de
Procesos Estocásticos
Departamento de Informática
Universidad Técnica Federico
Santa María

Simulación/2002

Héctor Allende

1

Introducción
• Las características de un fenómeno aleatorio puede
ser descrito a través de la distribución de
probabilidad de una variable aleatoria que
representa el fenómeno.
• En la teoría de probabilidad, las propiedades
estadísticas de unfenómeno aleatorio que ocurre
de manera aleatoria respecto al tiempo o al espacio
no son considerados.
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Héctor Allende

2

Introducción
• Ejemplos de fenómenos aleatorios en el tiempo:
-Imagen Biomedica, Imagen SAR
-Comportamiento de una onda en el oceano.
-Demanda de energia de cuidad o región geografica
-Volatilidad de los ADR
-Movimiento de una partícula en un campo magnetico-Emisión de fuentes radioactivas
-Vibración de un edificio, causada por un movimiento
sísmico

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Héctor Allende

3

Proceso Estocástico
• Definición: Una familia de variables aleatorias
x(t) donde t es el parámetro perteneciente a un
conjunto indexado T es llamado un proceso
estocástico (o proceso aleatorio), y se denota por:
{x(t ), t  T }

Nota: También es definido como: {x(t , ), t  T ,   }
siendo X (t ), v.a.t  T en el mismo espacio de
probabilidad (, , P)

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Héctor Allende

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Proceso Estocástico
• Observación
Si t es fijo, x( ) es una familia de variables aleatorias. (“ensemble”).
Para  fijo, x(t) es una función del tiempo llamada “función
muestrada”.
1

x(t )

2

x(t )

3

x(t )

k

x(t )

n

x(t )

Simulación/2002

t1

t2
Héctor
Allende5

Proceso Estocástico
Estado
Discreto

D iscreto

T iem po

C ontinuo

Continuo

• Estado y tiempo discreto y continuo.
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Héctor Allende

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Función de Medias
1. Sea {x(t ), t  T } un proceso estocástico, se
llama función de medias:

 x (t ) : T  
t   x (t ) E[ xt ]
Obs:  x (t ) E[ x(t )] cte t  T
se dice que
es un proceso estocástico estable en media.
Simulación/2002Héctor Allende

7

Función de Varianzas
2. Sea {x(t ), t  T } un proceso estocástico, se
llama función de varianzas:
 x2 (t ) : T  
t   x2 (t ) V [ xt ]  E{( xt  E[ xt ]2 }
 x2 (t ) cte t  T

Obs:
se dice que es
un proceso estocástico estable en varianza.
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Héctor Allende

8

Función de
Autocovarianzas
3. Sea {x(t ), t  T } un proceso estocástico, se
llama funciónde varianzas:
C xx (t ) : T T  
(t1 , t 2 )  C xx (t1, t 2 ) Cov[ xt , xt 2 ]
1

 E{( xt1   x (t1 ))( xt 2   x (t 2 ))}

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Héctor Allende

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Función de
Autocorrelación
3. Sea {x(t ), t  T } un proceso estocástico, se
llama función de varianzas:
 x (t ) : T T  
(t1 , t 2 )   x (t1, t 2 ) 

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Cov[ xt , xt 2 ]
1

 (t1 ) (t 2 )

Héctor Allende

10Función de Autocovarianza
• La función de Autocovarianza C xx (t1 , t 2 ) de un
proceso estocástico viene dado por:
C xx (t1 , t 2 ) Cov[ x(t1 ), x(t 2 )]
E[( x(t1 )  E[ x(t1 )])( x(t 2 )  E[ x(t 2 )])]
n
1
Cˆ xx (t1 , t 2 )   {x(t1k )  x(t1 )}{x(t 2k )  x(t 2 )}
n k 1

1 n
k
x
(
t
)

E
[
x
(
t
)]

x
(
t

i
i
i )
donde
n k 1

i 1,2

• Si está en función de las diferencias de tiempo:R( ) Cov[ x(t ), x(t   )]  x ( )
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Distribución conjunta finito
dimensional
• Sea (, , P) un espacio de probabilidad y
un conjunto de índices T, y X :  T  
un proceso estocástico.
El sistema: FX {FX (t ),..., X (t ) : t1 ,...., t n  T , n  }
es una “Distribución conjunta finito
dimensional”
1

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n

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Procesoestocástico de 2° orden
• Sea X un proceso estocástico, se dice de 2°
orden ssi el segundo momento es finito es
decir, E[ x 2 (t )]   t  T
o sea V  X (t )  (t )  2  1   t  T
2

2

E X(t)   t  T

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Héctor Allende

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Proceso Estacionario
OBS: Las características de un proceso aleatorio son evaluados
basados en el ensemble.

a) Proceso Estocástico Estacionario...