10 Derivadas BC2 APL 2VAR Resueltos

DP. - AS - 5119 – 2007

Matemáticas

ISSN: 1988 - 379X

APLICACIÓN DE DERIVADAS:
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN CON 2 VARIABLES
VARIABLES.
003

Descompón el número 9 en dos sumandos x e y, tales que la suma x2 + 6y sea
mínima.

2B

RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES A TRAVÉS DE DERIVADAS
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

x ≡ "Primer número buscado"
y ≡ "Segundo número buscado"
FUNCIÓN AOPTIMIZAR

A(x, y) = x2 + 6y
Vamos a colocar la función a optimizar en función de una sola variable, para lo que nos auxiliamos
de uno de los datos del problema:
x+y=9

→ y=9-x

A(x) = x2 + 6(9 - x)
A(x) = x2 + 54 - 6x
CONDICIONES PARA QUE EXISTA UN MÍNIMO

(a) Para que exista un mínimo A'(x) = 0
Para que A(x) sea un valor mínimo, la primera condición será:
A'(x) = 0
A'(x) = 2x - 6 = 0
2x = 6

x=3¿máximo o mínimo?
(b) Para que exista un mínimo A''(x) > 0
A''(x) = 2 > 0 → Mínimo
DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL RESTO DE INCÓGNITAS

y=9-x → y=9-x
y=9-3=6
x = 3

→

y = 6

SOLUCIÓN Y ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

Los 2 números que verifican que la condición del enunciado sea mínima son el 3 y el 6.
004

Determina dos números cuya suma sea 24 y tales que el producto del uno por el
cubo del otrosea máximo. Razonar el método utilizado.

2B

RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES A TRAVÉS DE DERIVADAS
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

x ≡ "Primer número buscado"
y ≡ "Segundo número buscado"
FUNCIÓN A OPTIMIZAR

A(x, y) = x · y3
Vamos a colocar la función a optimizar en función de una sola variable, para lo que nos auxiliamos
de uno de los datos del problema:
x + y = 24

→ x = 24 - yA(y) = (24 - y) · y3
A(y) = 24y3- y4
CONDICIONES PARA QUE EXISTA UN MÁXIMO

(a) Para que exista un máximo A'(y) = 0
A'(y) = 72y2- 4y3 = 0
4y2·(18 - y) = 0
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1

 Abel Martín
y1 = 0

¿máximo o mínimo?

y2 = 18 ¿máximo o mínimo?

(b) Para que exista un máximo A''(y) < 0
A''(y) = 144y - 12y2
A''(0) = 144·0 - 12·02 = 0
A''(18) = 144·18 - 12·182 = 2592 - 3888 = - 1296 < 0 →Máximo
y = 18
DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL RESTO DE INCÓGNITAS

x = 24 - y = 24 - 18
x = 6
SOLUCIÓN Y ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

Los 2 números que verifican que la condición del enunciado sea máxima son el 6 y el 18.
009

Si tenemos una cuerda de 100 cm de larga, ¿cuáles serían las dimensiones del
rectángulo para que tenga área máxima?

2B

RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES ATRAVÉS DE DERIVADAS
DETERMINACIÓN DE VARIABLES

x: longitud, en cm, de la base.

y

y: longitud, en cm, de la altura.

x

FUNCIÓN A OPTIMIZAR

A(x, y) = x · y
Vamos a colocar la función a optimizar en función de una sola variable, para lo que nos auxiliamos
de uno de los datos del problema:
→ 2x = 100 - 2y

2x + 2y = 100

x = 50 - y
A(y) = (50 - y) · y
A(y) = 50y - y2
CONDICIONES PARA QUE EXISTA UNMÁXIMO

(a) Para que exista un máximo A'(y) = 0
A'(y) = 50 - 2y = 0
- 2y = - 50

→ 2y = 50

y = 25 ¿máximo o mínimo?
(b) Para que exista un máximo A''(y) < 0
A''(y) = - 2 < 0

Máximo
y = 25

DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL RESTO DE INCÓGNITAS

x = 50 - y = 50 - 25 = 25
x = 25
SOLUCIÓN Y ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

Las dimensiones para que tenga área máxima serán las que formen un cuadrado de 25 cmde
lado.

014

Halla las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma
de ortoedro sabiendo que el volumen ha de ser de 9 m3, su altura de 1 m y el coste
de construcción por m2 es de 30 euros para la base, 35 euros para la tapa y 20 euros
para cada pared lateral.

RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES A TRAVÉS DE DERIVADAS

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2B

DP. - AS - 5119 – 2007

Matemáticas

ISSN: 1988 - 379X

DETERMINACIÓN DE VARIABLES

1m

x: longitud en m de la arista de la base.
y: longitud en m de la otra arista de base.

y
x

SBase = x·y
SLateral = y·1 + x·1 + y·1 + x·1 = 2x + 2y
STapa = x·y
FUNCIÓN A OPTIMIZAR

Precio Total = 30xy + 35xy +...