10 limites y continuidad

Cap´ıtulo

10

L´IMITES Y CONTINUIDAD
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10.1. CONCEPTOS INTUITIVOS DE LIMITES
Y CONTINUIDAD
Suponga que se tiene una funci´on y = f (x) de reales en reales con dominio D. Sea a ∈ R ; saber
cu´al es el comportamiento de la funci´on en a es muy sencillo, simplemente calcule f en a y observe
que solamente pueden suceder dos cosas: o existe un n´umero real f (a), o sea a ∈ D f o no existe f (a),
locual indica que a ∈
/ D f . Pero saber cu´al es el comportamiento de la funci´on muy cerca de a sin
referirnos a un punto espec´ıfico y sin referirnos a a , es un problema bastante delicado pero de gran importancia, ya que conociendo este comportamiento se tiene una amplia informaci´on sobre la gr´afica de
la funci´on cerca de a, informaci´on que no se puede tener si solamente se conoce la funci´onen el punto.
Inicialmente se presentar´an diversas situaciones en las cuales se mostrar´a, a partir de las gr´aficas de
unas funciones, qu´e sucede con las im´agenes de una variable x a medida que esta variable se acerca a
un punto fijo a, sin llegar a ser a, pero acerc´andosele tanto como se quiera.
Ejemplo 1
Considere la funci´on f (x) = x 2 (figuras 10.1) y tome a = 2.
Conocer elcomportamiento de la funci´on en x = 2, es simplemente calcular f (2), que en este caso
es f (2) = 2 2 = 4 o´ sea 2 ∈ D f .
Pero para conocer el comportamiento de la funci´on cuando la variable x se est´a acercando a 2, es
preciso apreciar que:

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Cap´ıtulo 10. LIMITES
Y CONTINUIDAD

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y

y
f (x) = x2

4

4

a)

2

x

x
b)

x

2

x

FIGURA N◦ 10.1

1. En la figura 10.1 (a), a medida que x se acerca a2 por su derecha, sus im´agenes se van acercando
a 4, lo que se suele expresar diciendo, que el l´ımite de f (x) cuando x tiende a 2 por la derecha
es 4 y se nota por : l´ım+ f (x) = 4
x→2

2. En forma an´aloga de la figura 10.1 (b) a medida que x se acerca a 2 por su izquierda, sus
im´agenes se van acercando a 4, en este caso se dice que el l´ımite de f (x) cuando x tiende a 2
por su izquierda es4 y se nota por : l´ım− f (x) = 4
x→2

Observe que en este caso la gr´afica de la funci´on no presenta ning´un agujero, ni interrupci´on en x = 2
(lo que significa que la funci´on es continua en x = 2) y tambi´en que la funci´on tiende al mismo valor
cuando x se acerca a 2 tanto por la derecha como por la izquierda y adem´as que ese valor com´un de
esos l´ımites laterales coincide con el valor def en 2, f (2). Estas situaciones no siempre se presentan
en la gr´afica de una funci´on, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2
Sea f (x) =

x + 3 si x ≤ 1
2 − x si x > 1

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10.1. CONCEPTOS INTUITIVOS DE LIMITES
Y CONTINUIDAD

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y

y

4

4

1

1

1

x

x

x

a)

x
1

b)
FIGURA N◦ 10.2

De la figura 10.2 (a), se tiene que cuando x se acerca a 1 por la derecha f (x) se acerca a 1,lo cual
se nota por, l´ım+ f (x) = 1, pero cuando x se acerca a 1 por la izquierda (figura 10.2 (b)) f (x) se
x→1

acerca a 4, que se nota como: l´ım− f (x) = 4
x→1

Esto muestra que no necesariamente los l´ımites laterales l´ım+ f (x) , y l´ım− f (x) deben ser iguales.
x→a

x→a

Aqu´ı a diferencia del ejemplo 1, la gr´afica si presenta una interrupci´on en el punto x = 1 (lo que
significa que lafunci´on es discontinua en x = 1). Esta caracter´ıstica de la gr´afica est´a determinada
por el comportamiento de la funci´on cerca de x = 1, tanto a derecha como a izquierda y no por el
comportamiento de la funci´on en x = 1, pues si solamente tenemos en cuenta este aspecto, lo u´ nico
que podr´ıamos afirmar es que f (1) = 4 y por tanto x = 1 ∈ D f .
En los ejemplos anteriores el punto x = a, eraun punto en el dominio de la funci´on, hecho que no es
necesario para conocer el comportamiento de la funci´on cerca de a, como se ilustra en los siguientes
ejemplos.
Ejemplo 3
Sea f (x) =

x2 − 4
x−2

Observe que f (2) no existe, ya que al calcular f (2) habr´ıa que dividir por cero, lo cual no es
posible en los n´umeros reales, o sea 2 ∈
/ D f , lo que significa que para la abscisa x = 2, no...