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TRILCE

Capítulo

4

DIVISIÓN ENTRE POLINOMIOS
DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA
COCIENTES NOTABLES

DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Es la operación que tiene por objetivo determinar un polinomio llamado cociente (q) y otro polinomio denominado
resto o residuo (R), conociendo otros dos polinomios llamados dividendo (D) y divisor (d).
Esquema clásico :
D
R

de donde :

d
q

D = dq + R

(Identidad de la División).Propiedades :
Siendo el grado del dividendo mayor o igual que el grado del divisor, con respecto a una variable en particular, es decir :
[D]°  [d]°.
Se cumple :
1.

El grado del cociente es la diferencia entre el grado del dividendo y divisor.

[q]º = [D]º - [d]º
2.

El máximo grado del resto es igual al grado del divisor disminuido en uno.
[R] ºmáx= [d]º - 1

MÉTODOS DE DIVISIÓN
Para todos losmétodos, el dividendo y divisor deben estar completos (si falta algún término se agrega "cero") y
ordenados en forma decreciente.
I.

MÉTODO DE HORNER
Para este método sólo se utilizan coeficientes, colocándolos en el siguiente esquema :

Primer coeficiente
del divisor
los demás
coeficientes
del divisor
con signo
cambiado

d
i
v
i
s
o
r

D I V I D E N D O
# lugares = dº

COCIENTE

R E S T O

35Álgebra
Ejemplo :
Dividir :

x 5  4 x 4  6 x 2  6 x  1
4 x 2  4x  2

Colocando según el esquema, los coeficientes del dividendo y divisor :

# lugares = dº = 2

8

4
-2

0
-4

6

12

p or

-6

6

8

-4

por

2

3

2

-1

suma

4

suma

8

suma

4

2

Coeficientes del "q"

8

-4

10

-5

Coeficientes del "R"

sólo se obtienen coeficientes. La variable se agrega de acuerdo al grado .
Asítenemos : q° = 5 - 2 = 3 ; Rºmáx = 2 - 1 = 1.

 q  2x 3  3x 2  2x  2

 R  10x  5
II.

MÉTODO DE RUFFINI
Al igual que en Horner, sólo utilizan coeficientes. Ruffini se aplica únicamente cuando el divisor es de la forma : x + b.
Esquema de Ruffini :

-b

DIVIDENDO
COCIENTE

siempre es un número

R

valor de "x" al igualar el divisor a cero.

Ejemplo :

3x 4  8 x 3  5 x 2  5
x2

Colocandolos coeficientes en el esquema de Ruffini :

x20 3
2 

8
6

5
4

0
2

5
4

3

2

1

2

9 R

por

coeficientes de "q"

Las variables de "q" se agregan de acuerdo al grado : q° = 4 - 1 = 3.

 q  3x 3  2x 2  2x  2

 R  9

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Observación : si el divisor es ax + b (a  1), luego de realizar la división, los coeficientes del cociente se dividen entre
"a".

Ej. :

3x 4  7 x 3  3x 2 x  7
3x  2
3x - 2 = 0
2
3

3

7

3

1

7

2

6

2

2

3

9

3

3

9

1

3

1

1

3

 q  x 3  3x 2  x  1
 R  9

qº = 4 - 1 = 3  

TEOREMA DEL RESTO
El resto de dividir el polinomio P(x) entre (x-a) es P(a).
Observación :
*

Si el divisor no es de primer grado, se calcula alguna expresión según el caso y tal cual, se reemplaza en el dividendo.
Ejemplo :
Hallar el resto :
x 50  3x 21 7 x  2
x 1

Por T. resto :

x + 1 = 0  x = -1

Reemplazando en el "D" :

R  (1)50  3 (1)21  7 (1)  2
R=1-3+7+2
R=7

Ejemplo :
Hallar el resto :

x 20  7 x 5  6 x 4  x 3  1
x2  1
Por T. resto : x 2  1  0  x 2  1 (no se calcula "x").
Formando " x 2 " en el dividendo :

(x 2 )10  7 (x 2 )2 x  6 (x 2 )2  x 2. x  1

Reemplazando :

x 2  1  R  (1)10  7 (1)2 x  6 (1)2  (1)x  1
R = 1 + 7x - 6 + x + 1
R = 8x - 4

37

Álgebra
DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA
Se dice que un polinomio es divisible entre otro, si el resto de dividirlos es cero; es decir :
Si en : P(x)  f(x)  R = 0
Entonces P(x) es divisible entre f(x).
Propiedades :
1.

Si un polinomio es divisible entre otros polinomios por separado, entonces será divisible entre el producto de dichos
polinomios, siempreque estos sean primos entre sí, (no deben tener ningún factor en común); es decir :
Si en :

P(x)  f(x)  R = 0
P(x)  g(x)  R = 0
P(x)  f(x) . g(x)  R = 0



*
2.

f(x) y g(x) son primos entre sí.

Si un polinomio es divisible entre un producto de varios polinomios, entonces será divisible entre cada uno por
separado; es decir :
Si en :

P(x)  f(x) . g(x)  R = 0

 P(x)  f(x)  R  0
...