AlgCBC Prac 4 EspVect18 Ejerc01

Ing. José Luis Unamuno & Asoc.

Tel.: 4255-5424

EJERCICIOS
EJERCICIO 1.-

Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios.
En estos ejercicios, vamos a ver primero si no son Sub Espacios Vectoriales (SEV) con
algún contraejemplo, es decir un par de elementos que muestren que no cumplen las
condiciones para ser SEV, esto se puede hacer sólo cuando es evidente que no la cumplen.Si vemos que pueden ser SEV, trataremos de verificar que cumplen las condiciones para
serlo.

a)

W={(x1,x2) ∈ R2 / 2.x1-5.x2=0}
En realidad esto tiene facha de SEV (es la ecuación de una recta que pasa por el origen), así
que verificaremos si cumple las condiciones.

¿W ⊆ R2?,

si pues así lo dice la definición y R2 es un espacio vectorial.

Ok

¿el 0 ∈ W?,

si pues cumple la ecuación que lodefine 2.0-5.0=0

Ok

si u y v ∈ W,

si pues si u ∈ W entonces 2.u1-5.u2=0 y si v ∈ W entonces 2.v1-5.v2=0,
sumando miembro a miembro las igualdades 2.u1+2.v1-5.u2 +5.v2=0 o
2.(u1+v1)-5.(u2+v2)=0, es decir que u+v ∈ W

Ok

Como v ∈ W entonces 2.v1-5.v2=0, si c.v=(c.v1;c.v2) ∈ W pues se verifica que
2.c.v1-5.c.v2 = c.(2.v1-5.v2) = c.0 = 0

Ok

¿u+v ∈ W?
Si v ∈ W y c ∈ R
¿c.v ∈ W?

b)

W={(x1,x2) ∈ R2 /(x2)2 < -1}

Este W es un conjunto vacío, que no es lo mismo que el vector nulo 0, por lo tanto no es un SEV. Es
vacío pues no hay ningún real que elevado al cuadrado resulte menor que -1

c)

W={(x1,x2,x3) ∈ R3 / x1-x2= x3-x2}

Este es un SEV pues la restricción impuesta es la ecuación de un plano que pasa por el origen, la vamos
a igualar a 0 y plantear como producto de matrices. Así nos servirápara resolver un ejercicio que aparece
más adelante.
Sea la restricción: x1-x2= x3-x2

x1-2.x2- x3 = 0

Esto se puede escribir como producto de matrices

⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
x1 - 2.x 2 - x 3 = (1 - 2 - 1) × ⎜ x2 ⎟ = 0 Ahora verificamos si cumple las condiciones necesarias
⎜x ⎟
⎝ 3⎠
¿W ⊆ R3?,

si pues así lo dice la definición y R3 es un espacio vectorial.

Ok

¿el 0 ∈ W?,

si pues cumple la ecuación quelo define 1.0-2.0-1.0=0

Ok

si u y v ∈ W,

si pues si u ∈ W entonces 1.u1 - 2.u2 - 1.u3 = 0 y si v ∈ W entonces
1.v1 - 2.v2 - 1.v3 = 0, sumando miembro a miembro las igualdades
1.u1 + 1.v1 - 2.u2 - 2.v2 - 1.u3 - 1.v3 = 0
1.(u1+v1) - 2.(u2 + v2) - 1.(u3 + v3 =) = 0,
es decir que u+v ∈ W

Ok

Como v ∈ W entonces 1.v1-2.v2-1.v3=0, si c.v=(c.v1;c.v2;c.v3) ∈ W pues
se verifica que1.c.v1-2.c.v2-1.c.v3=c.(1.v1-2.v2-1.v3)=0

Ok

¿u+v ∈ W?
Si v ∈ W y c ∈ R
¿c.v ∈ W?

d)

W={(x1,x2,x3) ∈ R3 / (x1)2-4.(x3)2= 0}

Veamos
¿W ⊆ R3?,

si pues así lo dice la definición y R3 es un espacio vectorial.

¿el 0 ∈ W?,

si pues cumple la ecuación que lo define 02-4.02=0

si u y v ∈ W,

Veamos, si u ∈ W entonces (u1) -4.(u3) = 0 y si v ∈ W entonces (v1) 4.(v3)2= 0 y ¿que pasa con u+v? Será (u1+v1)2 - 4.(u3+v3)2= 0¿?

¿u+v ∈ W?

2

2

Ok
Ok
2

Desarrollamos las sumas al cuadrado y ordenamos los términos
convenientemente

No

[(u1)2+2.u1.v1+(v1)2]-4.[(u3)2+ 2.u3.v3 +(v3)2] = 0

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AlgebraCBC_Practica_4_EspaciosVectoriales18.doc

20/12/2005

Ing. José Luis Unamuno & Asoc.

Tel.: 4255-5424

[(u1)2 - 4.(u3)2]+[(v1)2 - 4.(v3)2] +2.u1.v1+ 2.u3.v3 = 0
[0]+[0] +2.u1.v1+ 2.u3.v3 = 0No todos los vectores de W cumplen esta última igualdad
2.u1.v1+ 2.u3.v3 = 0
Entonces W, no es un SEV de R3.

e)

W={(x1,x2,x3,x4,x5) ∈ R5 / x1-3x3+x5 = 2.x2+ x4 - x5}

Siguiendo un procedimiento similar al del ejercicio c), podemos concluir que es un SEV

f)

⎛1 0 − 2 0 1 ⎞
⎜
⎟
W={X ∈ R / ⎜ 2 0 0 1 − 2 ⎟ X = 0}
⎜ 3 0 − 2 1 − 1⎟
⎝
⎠
5

En este ejemplo X=(x1,x2,x3,x4,x5) y 0=(0,0,0) y lo podemosescribir al producto de matrices así:

⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎛ 1 0 − 2 0 1 ⎞ ⎜ x2 ⎟ ⎛ 0 ⎞
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎜ 2 0 0 1 − 2 ⎟ × ⎜ x3 ⎟ = ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜ 3 0 − 2 1 − 1⎟ x
⎠ ⎜ 4 ⎟ ⎝ 0⎠
⎝
⎜x ⎟
⎝ 5⎠
g)

y como no tengo ganas de escribir mucho, voy a referirme
al ejercicio c), si tomamos fila por fila de la matriz y
hacemos las pruebas correspondientes como hicimos en
c), veremos que X, sometido a la restricción es un SEV....