AlgCBC Prac 4 EspVect18 Ejerc03al06

Ing. José Luis Unamuno & Asoc.

Tel.: 4255-5424

EJERCICIO 3.-

Sea V un espacio vectorial sobre R y sean v0, v1 y v2 ∈ V.
Demostrar que W={k.v0 / k ∈ R} es un SEV de V.
¿W ⊆ V?,

si pues W está formado por k.v0 y como v0 ∈ V, k.v0 también (pues V
es un Espacio Vectorial)

Ok

¿el 0 ∈ W?,

si pues pues si tomo k=0, k.v0 es el vector nulo y pertenece a W

Ok

si u y v ∈ W,

si pues si u ∈ W, estoquiere decir que u=k1.v0 , por la definición de W,
lo mismo podemos decir parav que ∈ W, entonces v=k2.v0

¿u+v ∈ W?

puedo escribir u+v = k1.v0 + k2.v0 = (k1.+k2) . v0 , como (k1.+k2) ∈ R
entonces: u+v ∈ W.

Si v ∈ W y c ∈ R

Como v ∈ W entonces v=k.v0

¿c.v ∈ W?

Debemos demostrar que c.v ∈ W es decir que c.k.v0 ∈ W, y es evidente
pues (c.k) ∈ R, entonces c.v=(c.k).v0 ∈ R.

Ok

Ok

EJERCICIO4.-

Sean w1 y w2 ∈ Rn, W1={v ∈ Rn / v.w1=0} y
W2={v ∈ Rn / v.w1= v.w2=0} y
a) Probar que W1 y W2 son SEV de Rn
b) Representar W1 y W2 para n=2, w1=(-2,1) y w2=(1,0)
c) Representar W1 y W2 para n=2, w1=(-2,1) y w2=(2,-1)
a) Remitirse al ejercicio 2)
b) W1={v ∈ Rn / v.(-2,1)=0} sea v=(x,y)

entonces:

(x,y).(-2,1)=0 -> (x.(-2)+y.1)=0 -> -2.x+y=0 ->
W1:-2x+y=0
W1 es una recta de ecuación y=2.x
W2={v ∈Rn / v.(-2,1)=v.(1,0)=0}
entonces:

sea v=(x,y)

W2={v ∈ Rn / (x,y).(-2,1)=0 y (x,y).(1,0)=0}
-2.x+1.y=0

y

1.x+0.y=0

y=2x

y

x=0

⎧ y = 2x
W2 : ⎨
= (0,0)
⎩x = 0
W2 es un punto, que resulta de la intersección de
dos rectas, una y=2x y otra x=0, el punto es el
(0,0)
c) W2={v ∈ Rn / v.(-2,1)= v.(2,-1)=0}

sea v=(x,y)

entonces:

W2={v ∈ Rn / (x,y).(-2,1)=0 y (x,y).(2,-1)=0}
-2.x+1.y=0

y2.x+(-1).y=0

y=2x

y

y=2x

W2 : {y = 2 x una recta.

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20/12/2005

Ing. José Luis Unamuno & Asoc.

Tel.: 4255-5424

EJERCICIO 5.-

Describir geométricamente el subespacio S de R3 y decidir si el vector w ∈ S.

⎛3 6 9⎞
w=⎜ , , ⎟
⎝5 5 5⎠

a) S = (1 , 2 , 3)

S es una recta que pasa por el origen y su vector director es(1,2,3).
S esta generado por (1,2,3), si el vector w ∈ S entonces debe existir una Combinación Lineal
(única o no) de los vectores generadores que sea igual a w. Planteamos esta situación y
analizamos las ecuaciones que resultan.
(3/5,6/5,9/5)=a.(1,2,3), vemos que si a=3/5 se cumple la condición. Entonces w ∈ S.

b) S =

(1 , 2 , 3), ( 1 , 1 , 3 )
2

2

w = (− 5 , − 10 , − 15)

S es una recta que pasapor el origen (todos los espacios vectoriales “pasan” por el origen
☺).
S esta generada por (1,2,3) y (1/2,1,3/2), el segundo vector es Combinación Lineal (CL) del
primero, es el primero dividido por 2. Entonces, parecía un plano, pero es una recta. Si el
vector w ∈ S entonces debe existir una Combinación Lineal (única o no) de los vectores
generadores que sea igual a w. Planteamos esta situacióny analizamos las ecuaciones que
resultan.
(-5,-10,-15) = a.(1,2,3)+b.(1/2,1,3/2) con a=-5 y b=0 tenemos una Combinación Lineal que
nos da w.

c) S = (1 , − 1 , 2 ), ( 2 , 1 , 3)

w = (3 , 0 , 6)

S es un plano que pasa por el origen (es un plano pues tiene como generadores 2 vectores
que son Linealmente Independientes (LI).
S esta generado por (1,-1,2) y (2,1,3). Si el vector w ∈ S entonces debeexistir una
Combinación Lineal (única o no) de los vectores generadores que sea igual a w. Planteamos
esta situación y analizamos las ecuaciones que resultan.
(3,0,6) = a.(1,-1,2)+b.(2,1,3)
Planteamos el sistema

Triangulamos la matriz

a+2.b=3

⎛ 1 2 3⎞
⎛ 1 2 3⎞
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜ − 1 1 0 ⎟ -> ⎜ 0 3 3⎟
⎜ 2 3 6⎟
⎜ 0 0 1⎟
⎠
⎠
⎝
⎝

-a+b=0
2.a+3.b=6

El sistema es incompatible. No
hay CL que iguale a w.
W∉SEJERCICIO 6.-

Decidir si los siguientes conjuntos de vectores generan V.
a) V=R3

{(1,-1,1),(0,1,-1),(0,0,1),(1,2,3)}

b) V=R2x2

⎧⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎫
⎟⎟, ⎜⎜
⎟⎟, ⎜⎜
⎟⎟ ⎬
⎨⎜⎜
⎩⎝ 2 − 1⎠ ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎭

c) V=R4

{(1,1,1,-1),(0,-1,1,-2),(1,1,0,1),(3,2,1,2)}

Para resolver estos, lo vamos a hacer planteando que cualquier vector de V=(x,y,z,…) debe
poder calcularse como una combinación Lineal...