AlgCBC Prac 4 EspVect18 Ejerc02

Ing. José Luis Unamuno & Asoc.

Tel.: 4255-5424

EJERCICIO 2.-

Sea A ∈ Rmxn. Probar que S0={x ∈ Rn / A.x=0} es SEV de Rn.
Aquí, en realidad nos piden una demostración genérica. A no “arrugar”. Loplantearemos con expresiones
basadas en subíndices y en sumatorias. Un poco de paciencia y mucha prolijidad.
Pasémoslo en limpio. A es una matriz de m filas por n columnas. Y x es un vector de ncomponentes.
Expresando el producto de matrices igualado a 0 tenemos:

⎛ x1 ⎞
⎛ a11 a12 ... ... a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎟
⎜ a21 a22 ... ... a2 n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜ ...
⎟.⎜ ... ⎟ = ⎜ ... ⎟
... ... ...
⎜⎜
⎟⎟ ⎜... ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
a
a
a
m2
mn ⎠ ⎜
⎝ m1
⎟ ⎝0⎠
⎝ xn ⎠

Expresándolo de otra manera podríamos poner:
∀ i / 1 ≤ i ≤ m (i es el índice de fila, j es el de columna) se
debe cumplir:

∑

n

a .xj = 0

j =1 ijAsí hemos expresado la condición impuesta a los vectores X
mediante el producto de matrices.

Esta expresión general se puede aplicar a cualquier ejercicio del estilo del 1.c)
Veamos como comprobar quees un SEV.
¿S0 ⊆ Rn?,

si pues así lo dice la definición y Rn es un espacio vectorial.

¿el 0 ∈ S0?,

si pues cumple las ecuaciones (o restricciones) que lo definen
∀i/1≤i≤m

si u y v ∈ S0,

∑

n

Oka .0 = 0

j =1 ij

si pues si u ∈ S0 entonces: ∀ i / 1 ≤ i ≤ m

¿u+v ∈ S0?
si v ∈ S0 entonces: ∀ i / 1 ≤ i ≤ m

∑

n

∑

∑

n

a .u j = 0

j =1 ij

a .v j = 0

j =1 ij

debemos demostrar que u+v ∈ S0n

Ok

es decir que ∀ i / 1 ≤ i ≤ m

a . (u j + v j ) = 0

j =1 ij

Simplemente dentro de las sumatoria y en cada término aplicamos la
distributiva

∑

¿c.v ∈ S0?

n
j =1

( aij . u j + aij . v j ) =0 Separamos en dos sumatorias:

a . u j + ∑ j =1 aij . v j = 0 y esta igualdad es cierta …
j =1 ij

n

pues
Si v ∈ S0 y c ∈ R

∑

Ok

n

∑

n

a .u j = 0 y

j =1 ij

Como v ∈ S0 entonces

∑

∑

n

na .v j = 0

j =1 ij

a .v j = 0

j =1 ij

Debemos emostrar que c.v ∈ S0 es decir que ∀ i / 1 ≤ i ≤ m

∑

n

a . (c . v j ) = 0

j =1 ij

términos

como

∑

factor,

n
j =1

c . aij . v j = 0 como c...