Algebra Apuntes

4.9. SUBESPACIOS VECTORIALES
Un subespacio vectorial S es un subconjunto de V que mantiene la estructura (propiedades) del
espacio vectorial V.
Definición. Si (V,+,K) es un espacio vectorial, se dice que S es un subespacio vectorial de V si
se verifica:
-   S  V.
- (S, +, K) es un espacio vectorial.
Caracterización. Sea (V,+,K) es un espacio vectorial y S un subconjunto de V.Entonces


 a)   S,

 b) v + w S, v, w S,
S es subespacio vectorial de V 
c) a v S, v S, a K.
Observaciones: 1.- Si S es un subespacio entonces 0V  S (uso: si 0V  S, entonces S
NO es un subespacio vectorial).
2.- S = {0V} es un subespacio vectorial de V.
Ejemplos: Comprobar si los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales o no:
2

2

a) S = {(x, y)   3/ x + 2y = 0} en V =  3 .
b) T = {(a, 1) / a R}, M = {(x, y) R2 / x + 2y = 3} en V = R2.
c) H = {ax2 +2ax - b / a,b R} en V = R2[x].
Observar que una manera de definir un subespacio vectorial es dar una propiedad que
caracteriza a todos sus elementos (PRIMERA MANERA DE DEFINIR UN SUBESPACIO).

SISTEMAS DE GENERADORES, BASES Y DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO
TODOS los conceptos vistospara un espacio vectorial V (sistema de generadores, vectores
libres o ligados, base y dimensión) y caracterizaciones (método de los rangos para ver si un
sistema de vectores es libre/ligado, si un sistema de vectores es sistema de generadores o base
de un espacio vectorial) sirven para subespacios vectoriales S.
1.- SISTEMA DE GENERADORES DE UN SUBESPACIO S: Es un conjunto de vectores delsubespacio que genera S, es decir, cualquier vector de S se puede escribir como combinación
lineal de estos vectores.
({v1, ..., vr}  S es un sistema de generadores de S si todo vector v de S verifica que
v = 1v1+ 2v2 ..., + rvr)
2.- BASE DE UN SUBESPACIO S: Es un conjunto de vectores del subespacio, que es un
sistema libre y sistema de generadores del subespacio (no del espacio V).
Sitenemos un sistema de generadores de S, para obtener una base de S basta con quitar los
vectores que son linealmente dependientes en el conjunto.
3.- DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO S: Es el número de vectores de cualquiera de sus
bases.
Observación: LO PRIMERO AL TRABAJAR CON UN SUBESPACIO S VA A SER
CALCULAR SU DIMENSIÓN Y OBTENER UNA BASE.
2

Ejemplo: Dado S = {(x, y)   3 / x + 2y = 0}, obtenersu dimensión y una base de S.

Definición. Sea S un subespacio vectorial de V con dim V = n. Se dice que:
-

Los subespacios S con 0 < dim S < n se llaman subespacios propios de V.
si dim S = 1, se dice que S es una recta vectorial.
Si dim S = 2, S es un plano vectorial.
dim S = 0  S = {0V}
dim S = n  S = V.

Observaciones:
1.- En R2 y R3 los subespacio de dimensión 1 son rectasque pasan por el origen; en
R3 los subespacio de dimensión 2 son planos que pasan por el origen.
2.- Si S es un subespacio vectorial en Znp o en Kn[x], S tiene un número finito de
vectores. En concreto, si dim S = k, S tiene pk vectores.
Ejemplo: Obtener todos los vectores de los subespacios vectoriales
2

S = {(x, y)   3 / x + 2y = 0} y M = {ax2 +2ax - b / a,b }

SEGUNDA FORMA DEDEFINIR UN SUBESPACIO VECTORIAL S: DANDO
UN SISTEMA DE GENERADORES DE S, {v1, ..., vr}

Si {v1, ..., vr} es un sistema de generadores de S, cualquier vector v de S se puede escribir como
combinación lineal de ellos, es decir, S = L(v1, ..., vr). Entonces, la notación S = L(v1, ..., vr),
nos indica que el conjunto {v1, ..., vr} es un sistema de generadores de S.
Ejemplo: En Z23, sea S = L((1,2), (2, 1)). Obtener una base de S y su dimensión. Obtener todos
los elementos de S.
Ejemplo: En R3, sea T = L((1, 0, 2), (0, 0, 1), (2, 0, 5)). Obtener una base de T y su dimensión.
Obtener un elemento de T distinto de los vectores que lo generan.
Ejemplo: En R3[x], sea H = L(1 + x3, 4x – x2 + x3, 1 – 4x + x2). Obtener una base de H y su
dimensión. Obtener un elemento de H distinto de los...