Algebra booleana

CIRCUITOS ELECTRICOS Y ELECTRONICOS

CRISTIAN DANIEL VAZQUEZ SILVA

GRUPO 3422

ANALISIS Y RESUMEN DE ALGEBRA BOOLEANA

TRABAJO 2 PARCIAL

ALGEBRA DE BOOLE
En 1847, George Boole desarrolla el álgebra como análisis matemático.
En 1938, Shannon emplea esta álgebra en circuitos de conmutación.

Es una estructura algebraica consistente de: un conjunto de elementos (sea B el conjunto);dos operaciones binarias (sean + y •, las operaciones); tales que se cumplen los axiomas de clausura, conmutatividad, asociatividad, distributividad, identidad y complementariedad.

Postulados

Definición:

El álgebra de Boole es un sistema algebraico cerrado que contiene un conjunto B de dos elementos, {0, 1}; y dos operadores {·, +}. Los operadores también suelen representarse según: {AND,OR}. La clausura implica que si a y b pertenecen a B, entonces: a·b y a+b también pertenecen a B.

Igualdad.
Dos expresiones son iguales si una puede ser substituida por la otra.

Elementos únicos.
Existen elementos únicos (0 y 1) en B tal que para cada a en B se tienen:
a + 0 = a
a · 1 = a

Conmutatividad.
Si a y b pertenecen a B: a + b = b + a, a · b = b · a

Asociatividad.
Sia, b y c pertenecen a B: a + (b + c) = (a + b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c

Distributividad.
Si a, b y c pertenecen a B: a + (b · c) = (a + b) · (a + c), a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
Nótese que en la distribución para la suma en el producto, la expresión a la derecha es diferente de la empleada habitualmente para números reales y enteros.

Complementariedad.
Si apertenece a B:
Existe complemento único de a que se representa por a’ y también por: a
a + a’ = 1
a • a’ = 0
Al complemento único de a lo representaremos, para facilitar su escritura según convenga, como: a', y también como: not a. El complemento podría haberse definido como un operador unario de la estructura algebraica. En el lenguaje C se emplea ~a para denotar el complemento; el operadorand se anota & y el operador or emplea el símbolo |.

Observar que, con la formulación de postulados, se pueden demostrar como teoremas las siguientes
proposiciones:
a a
0 1
1 0
=
=
=
Es decir, las igualdades anteriores no son postulados.
1Sobre las demostraciones de Teoremas.
Cada paso en las demostraciones consiste en la aplicación de P.2, regla de sustitución, en conjunción con otrospostulados o teoremas ya demostrados. Se agrega a cada línea, como comentario, el
postulado usado.
Representación de Funciones Booleanas
Cada salida de un sistema digital combinacional puede describirse por una función booleana de sus variables de entrada. Es decir, las salidas de una red combinacional dependen solamente de sus entradas. Lo anterior se considera la definición de un sistemadigital combinacional.

a) Expresiones.
Una función puede ser descrita por una expresión.
Ejemplo: f( A, B, C) = AB + A’C + AC’
La función puede evaluarse para las diferentes combinaciones de valores que tomen las variables.
Se ilustra la evaluación de la función para A = 1, B = 0 y C = 0.
f( 1, 0, 0) = 1• 0 + 1’• 0 + 1 • 0’
= 0 + 0 • 0 + 1 • 1


b) Tabla de verdad
Una función puede serdescrita por una tabla de verdad. Una tabla de verdad despliega todas las posibles combinaciones de valores de las variables y el valor asociado de la función. Por ejemplo, para la expresión del punto a):
A B C f
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
c) Esquema Lógico.
Un diagrama empleando símbolos estandarizados para las funciones lógicas.

Mapas de KarnaughPodría definirlo como un método para encontrar la forma más sencilla de representar una función lógica. Esto es... Encontrar la función que relaciona todas las variables disponibles de tal modo que el resultado sea el que se está buscando. Para esto vamos a aclarar tres conceptos que son fundamentales

a)- Minitérmino Es cada una de las combinaciones posibles entre todas las variables...