Algebra De Matrices

Álgebra de matrices
Material 03 de octubre de 2012
Pablo A Velázquez Madrazo

Matriz
 



Arreglo de números en filas y columnas siguiendo un orden lógico. Una matriz se define por un número i de líneas (renglones o filas) y un número j de columnas, así una matriz de 3 x 4 es una matriz de tres líneas y cuatro columnas. Un solo número se conoce en álgebra matricial como un escalar.Matriz
Una matriz de una sola fila se conoce como un vector fila (vector renglón).  Una matriz de una sola columna se conoce como un vector columna.  El número de elementos en una matriz (o en un vector) determina su dimensión (su orden).


Vectores
Vector columna
 a1  a   2  a3     a4 

Vector Renglón

[a1

a2 a3

a4]

Elementos de una matriz


Serepresentan con una literal y dos subíndices, el primero se refiere a la fila y el segundo a la columna, por ejemplo, el elemento situado en la segunda fila cuarta columna se representa como a24, si hay mas de nueve filas o columnas entonces se separan con una coma, ej: el elemento de la 13 fila y 5 columna sería a13,5.

Elementos de una matriz


Los elementos de una matriz pueden ser números,funciones o incluso matrices, es decir, se pueden formar matrices de matrices.

Matriz

a11

a12

a13 a33

a14 a34

a21 a22 a31 a32 a41 a42

a23 a24 a43 a44

Matriz






Una matriz de orden (dimensión) 5 x 3 se refiere entonces a una matriz de 5 filas y 3 columnas. Una matriz cuadrada tiene el mismo número de renglones que de columnas. La posición de cada elemento dentro dela matriz le da un significado especial



Nota que

4 1

3

4

3 1

5 5

3 2

3 2

Ejemplos de Matrices
Si arreglamos las asistencias en una lista de alumnos (filas) y fechas (columnas) estaremos formando una matriz que nos permite varias posibilidades matemáticas.  Las ventas de los productos de un almacén también pueden acomodarse en varias matrices (por ejemplo,volumen y precios).


Algunos tipos de matrices
Matriz Simétrica: una matriz cuadrada en la que los elementos fuera de la diagonal son como imagen de espejo de la parte sobre la diagonal, es decir, cuando i  j, aij=aji.  Matriz Identidad: tiene unos sobre la diagonal y ceros fuera de ella, es el equivalente del 1.


Ejemplo de matriz simétrica

Matriz Identidad

1 0 0 0 0 1 0 0 0 01 0 0 0 0 1

Matriz Triangular (Superior e inferior)
1 3 5 Sup  0 2 4 0 0 1

1 0 0 Inf  1 2 0 5 3 2

Matriz Diagonal


Una matriz cuadrada en la que los elementos fuera de la diagonal principal son nulos. (si i=j el elemento aij ≠ 0, si i ≠ j el elemento aij = 0)
1 0 0 0 0
B 2 0 0 0 0 0 4 0 0 7

A  0 6 0 5

0 8 0 0 0 0

Matriz Escalar


Una matriz cuadrada en laque todos los elementos en la diagonal tienen el mismo valor y fuera de la diagonal todos los elementos son nulos. Si i=j aij = l, si i ≠j aij = 0.

4 0 0 0

C

0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4

Matriz Nula


Una matriz cuadrada en la que todos los elementos son nulos. Se representa con “O”

0 0 0 0 O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Matriz antisimétrica


Matriz cuadrada en la que loselementos de la diagonal son nulos, y fuera de la diagonal son como imagen de espejo pero con signo diferente. Condición: Si i=j aij=0, si i≠j aij = –aji.
0 5 8 0
c12 = 5; c21 = –5

A   5 0 1 8 1

c13 = 8;
c23 = –1;

c31 = –8
c32 = 1

Aplicaciones del Álgebra de matrices




Solución de sistemas de ecuaciones lineales con múltiples variables (¿recuerdas la solución de la funcióncuadrática?). Programación lineal por el método Simplex.

Ejercicios

a)

b)
c)

Elabora una matriz que cumpla las condiciones siguientes: Simétrica, Escalar, Diagonal Simétrica, Escalar, No Diagonal Triangular superior, Diagonal, No escalar.

Multiplicación de matrices


Multiplicación de un escalar por una matriz:






Se multiplica el escalar por cada elemento de...