Algebra lineal 2

Respuestas Tarea 1 Álgebra Lineal 2
Profesora: Daniela Terán.

AY U DAN T ES : Patricio

García,

Iván Axel Gómez
1. Se dice que una matriz
que si

A

es nilpotente

A ∈ Mn×n (F ) es nilpotente si existe n ∈ N tal que An = 0. Demuestre
entonces 0 es valor propio de A y de hecho es el único valor propio de

A.
Solución.

λ valor propio de A con A nilpotente, usando elejercicio 8 de esta tarea, sabemos que λn
n
n
n
n
es valor propio de A = 0, por lo tanto para λ existe un vector z = 0 tal que A z = λ z . Ya
n
n
que A z = 0, entonces λ z = 0, pero habíamos dicho que z = 0 , por lo tanto solo queda la
n
n
opción de que λ = 0. De lo contrario, si suponemos que λ = 0 entonces λ = 0, y por tanto
λn z = 0, que se contradice con lo que habíamos obtenidoanteriormente. Por lo tanto λ = 0
es un valor propio de A y es el único.
Sea

2. Demuestre que son equivalentes para

A una matriz triangular superior con todos sus elementos

de la diagonal iguales:
a.

A

es diagonalizable.

b.

A

es diagonal.

Solución.

a. ⇒ b.)

Supongamos que

A ∈ Mn×n (F )

es una matriz triangular superior tal que todos los

elementos en su diagonalson iguales a

λ.



λ a12 · · · a1n
 0 λ · · · a2n

 .
.
..
.
 .
.
.
.
0 0 ··· λ
Como

A


Entonces

es de la forma:






A es una matriz trangular superior, entonces A − tIdn×n

es una matriz trian-

gular superior donde todas su entradas en la diagonal son iguales a

(λ−t), y sabemos

que el determinante de una matriz triangular superior estádado por el producto de
n
los elementos en su diagonal, lo que implica que χA (t) = (λ − t) . Por lo tanto A
tiene un único valor propio

λ

de multiplicidad

Ahora, por contrapositiva, supongamos que

A

n.
no es una matriz diagonal, esto im-

plica que existe una entrada sobre la diagonal distinta de cero, es decir, existen

i < j tales que aij = 0, por lo anterior se tiene que A= λIdn×n , y enA − λIdn×n = ˆ (donde ˆ denota a la matriz cero de n × n). Por lo tanto
0
0
n
Eλ = N uc(A − λIdn×n ) = F (ya que la única matriz con la propiedad de que su
n
núcleo es todo el espacio F es la matriz ˆ) . Lo anterior implica que dim(Eλ ) = n,
0
por lo que A no es diagonalizable.

y

j

i

con

tonces

b. ⇒ a.

Supongamos que

A ∈ Mn×n (F )

es una matriztriangular superior tal que todos los

λ y además, por hipótesis, A es una matriz
A = λIdn×n , por lo que su polinomio característico esta dado
n
por χA (t) = (λ − t) , así A tiene un único valor propio λ de multiplicidad n.
Encontremos el espacio propio de A asociado a λ.
elementos en su diagonal son iguales a
diagonal. Entonces

Eλ = N uc(A − λIdn×n ) = N uc(λIdn×n − λIdn × n) = N uc(ˆ0)

3. Sea

a.

N uc(ˆ = F n ,
0)

dim(Eλ ) = dim(F n ) = n, entonces
podemos encontrar una base β de vectores propios para Eλ de cardinalidad n, así, β
n
es también una base de vectores propios para F . Por lo tanto A es diagonalizable.


−2 0
1
A =  0 3 −2 . Demuestre que:
0 0 −3
Claramente

A

lo que implica que

es diagonalizable.



b.


0 0 0
χA (t)(A)=  0 0 0 .
0 0 0

Solución.

a. Calculemos

χA (t):



−2 − t
0
1
3−t
−2 
A − tId =  0
0
0
−3 − t
Como

A − tId

es una matriz triangular, su determinante es igual al producto de su

χA (t) = (−2 − t)(3 − t)(−3 − t) de donde obtenemos los valores
propios t1 = −2, t2 = 3 y t3 = −3. Como A ∈ M3×3 (R), notemos que LA es una
3
transformación lineal en el espacio3-dimensional R . Ya que el polinomio caracteristico
de A (y por tanto de LA ) tiene 3 valores propios distintos, entonces A es diagonalizable.
−1
Podemos comprobarlo dando la base y la matriz Q tal que Q AQ es diagonal. Sea

 

−2 − (−2)
0
1
0 0 1
 = 0 5 −2
0
3 − (−2)
−2
A − t1 Id = 
0
0
−3 − (−2)
0 0 −1
diagonal. Entonces

y queremos que

(A − t1 Id)z1 = 0,...