Analisis matricial de porticos

Matriz de Rigidez de Elemento Viga - Columna 2D, de Eje Recto y de Sección Constante Referida a GDL Orientados Según Ejes Locales

Ecuaciones diferenciales:

EA u ′ = N = − F1 EA u = − F1 x + C 0 v = v flexión + v corte ′ EI v ′flexión = M = F2 x − F3 ′ GAs v corte = −V = − F2   EI ′ EI v ′ = EI v ′flexión + v corte = 1 F2 x 2 − F3 x +  C1 − F2  2   GAs     EI EI v = 1 F2 x 3 − 1 F3x 2 +  C1 − F2  x + C 2 6 2   GAs   ⇒ EI v ′flexión = 1 F2 x 2 − F3 x + C1 2

(

)

Nota relativa a los giros en los extremos: En las expresiones siguientes: φ =

′ v ′ = v ′flexión + v corte = θ −

F2 GAs

12 EI
GAs L2

Deformada

Condiciones de Borde
u (0) = 1 u ( L) = 0

Fuerzas en GDL
F1 = − F4 = F2 = F5 = 0 F3 = F6 = 0 EA L

Columna 1

v(0) = v( L) = 0 v ′(0) =v ′( L) = − F2 GAs

u (0) = u ( L) = 0

Columna 2

F1 = F4 = 0
F2 GAs

v(0) = 1 v( L) = 0 v ′(0) = v ′( L) = −

F2 = − F5 = F3 = F6 =

(1 + φ ) L3
6 EI

12 EI

(1 + φ ) L2

u (0) = u ( L) = 0

Columna 3

F1 = F4 = 0
F v ′( L) = − 2 GAs

v(0) = v( L) = 0 F v ′(0) = 1 − 2 GAs

F2 = − F5 =

(1 + φ ) L2
 2 − φ  EI F6 =  1+φ  L   

6 EI

 4 + φ  EI F3 =  1+φ  L   

u (0) = 0 u ( L) = 1

Columna 4

v(0) = v( L) = 0 v ′(0) = v ′( L) = − F2 GAs

F4 = − F1 = F2 = F5 = 0 F3 = F6 = 0

EA L

u (0) = u ( L) = 0

Columna 5

F1 = F4 = 0 F5 = − F2 = F3 = F6 = −
F1 = F4 = 0 F2 = − F5 =

v(0) = 0 v( L) = 1 F v ′(0) = v ′( L) = − 2 GAs

(1 + φ ) L3 (1 + φ ) L2
6 EI

12 EI

u (0) = u ( L) = 0

Columna 6

v(0) = v( L) = 0 F F v′(0) = − 2 v ′( L) = 1 − 2 GAs GAs

(1 + φ ) L2
 4 + φ  EI F6 =   1+φ  L   

6 EI

 2 − φ  EI F3 =   1+φ  L   

K (e)

         =          

EA L 0 0 − EA L 0 0 −

0 12 EI (1 + φ ) L3 6 EI (1 + φ ) L2 0 12 EI (1 + φ ) L3 −

0 6 EI (1 + φ ) L2  4 + φ  EI   1+φ  L    0 6 EI (1 + φ ) L2  2 − φ  EI   1+φ  L   

−

EA L 0 0 − −

012 EI (1 + φ ) L3 6 EI (1 + φ ) L2 0 12 EI (1 + φ ) L3 − 6 EI (1 + φ ) L2

EA L 0 0

6 EI (1 + φ ) L2

    6 EI  (1 + φ ) L2    2 − φ  EI     1+φ  L      0   6 EI  − (1 + φ ) L2    4 + φ  EI    1+φ  L       0

φ=

12 EI
GAs L2

Matriz de Flexibilidad de Elemento Viga - Columna 2D
U=

∫

L

N2 dx + 2 EA

∫
L

L

M2 dx + 2 EI

∫

LV2 dx 2 GAs

aij =

∂2 U = ∂ Fi ∂ F j

∫

∂N  ∂F  i

 ∂N  ∂F j 

 dx  +   EA

∫

L

∂M  ∂F  i

∂M  ∂F j 

 dx  +  EI 

∫

L

 ∂V  ∂F  i

  ∂V  ∂F j 

 dx   GAs 

N = − F1 M = F2 x − F3 V = F2
∂2 U ∂ F12

∂N = −1 ∂ F1
⇒

∂M =x ∂ F2 ∂M = −1 ∂ F3 ∂V =1 ∂ F2

a11 =

=

L EA

a 22 =

∂2 U ∂ F22

=(4 + φ ) L3 L3 L + = 3 EI GAs 12 EI

φ=

12 EI GAs L2

a 32 = a 23 = a 33 = ∂2 U ∂ F32

∂2 U L2 =− ∂ F2 ∂ F3 2 EI = L EI
0    2  L  − 2 EI   L   EI  0  EA   L  = 0    0   0     6 EI  (1 + φ ) L2    4 + φ  EI    1+φ  L      0

 L   EA  A= 0     0 

(4 + φ ) L3
12 EI − L2 2 EI

⇒

K = A −1

(1 + φ ) L3 (1 + φ ) L2
6 EI

12 EI L   EA  A= 0    0  

0

(4 + φ ) L
−

(2 − φ ) L
12 EI

12 EI

   (2 − φ ) L   − 12 EI  (4 + φ ) L    12 EI  0

⇒

K = A −1

 EA   L  = 0    0  

0  4 + φ  EI   1+φ  L     2 − φ  EI   1+φ  L   

     2 − φ  EI     1+φ  L      4 + φ  EI     1+φ  L     0

EJES LOCALES Y EJES GLOBALES

Grados deLibertad de la Estructura

Grados de libertad del elemento orientados según ejes locales:

K ′ (e) u ′ (e) = f ′ (e)

Grados de libertad del elemento orientados según ejes globales:

Proyección de las componentes de desplazamiento y de fuerza:

u′ ( e ) = T u ( e ) f ′( e ) = T f ( e )

K ′ ( e ) u′ ( e ) = f ′ ( e )

⇒ K ′( e ) T u ( e ) = T f ( e )

⇒ TT K ′ ( e ) T u ( e ) = f...