anillos estructuras algebraicas

Cap´ıtulo

7
Anillos
7.1

Definiciones B´
asicas

El concepto de Anillo se obtiene como una generalizaci´on de los
n´
umeros enteros, en donde est´an definidas un par de operaciones, la
suma y el producto, relacionadas entre si por una ley de distributividad.
Los anillos pues son estructuras algebraicas m´as completas que los
grupos, pero sin embargo en el estudio de sus propiedades m´asimportantes, nos apoyamos a lo largo de toda la exposici´on en nuestra
experiencia con los grupos. La razon para esto es muy simple, pues
todo anillo es un grupo en si mismo.!
Definici´
on 7.1.1 Un anillo R es un conjunto no vac´ıo en donde est´an
definidas un par de operaciones llamadas suma y producto, las cuales
denotamos por + y · respectivamente.
Estas operaciones satisfacen cada una de laspropiedades siguientes:
1) Para todo a, b ∈ R, se tiene que a + b y a · b est´an en R.
2) Para todo a, b, ∈ R se tiene que
a + (b + c) = (a + b) + c
3) Existe un elemento 0 en R, el cual llamaremos cero, tal que
a + 0 = 0 + a = a para todo a en R.
4) Para todo a en R, existe otro elemento en R, denotado por −a, el
cual llamamos el opuesto de a y que verifica
a + (−a) = −a + a = 0
5) Para todo a, b en R setiene
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Cap´ıtulo 7. Anillos

a+b=b+a
6) Para todo a, b y c en R se satisface
a · (b · c) = (a · b) · c
7) Para todo a, b y c en R se satisface
a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b) · c = a · c + b · c

Observaci´
on: De acuerdo a las propiedades 1-5 de la definici´on, se
tiene que todo anillo es un grupo abeliano bajo la suma.
Definici´
on 7.1.2 Sea R un anillo y supongamos que existe unelemento 1 ∈ R tal que
a·1=1·a=a

para todo a en R.

Entonces el anillo R se dice anillo unitario o anillo con unidad.
Definici´
on 7.1.3 Sea R un anillo. Si para todos a y b en R se tiene
ab = ba
entonces diremos que R es un anillo conmutativo.
Definici´
on 7.1.4 Sea R un anillo, un elemento a ∈ R se dice invertible, si existe otro elemento a−1 ∈ R tal que
a · a−1 = a−1 · a = 1.

7.1.Definiciones B´
asicas

147

Definici´
on 7.1.5 Un anillo de divisi´
on es un anillo con unidad, en
donde todos los elementos distintos de cero son invertibles.
Definici´
on 7.1.6 Un cuerpo es un anillo conmutativo con unidad, en
donde todos los elementos distintos de cero son invertibles.
Observaci´
on: Existen anillos de divisi´on no conmutativos y por ende
no cuerpos. Ver problema 13.
Veamos acontinuaci´on una serie de ejemplos de anillos
Ejemplo 1: El conjunto ZZ de los n´
umeros enteros, con las operaciones de suma y producto es un anillo conmutativo con unidad.
Ejemplo 2: El conjunto ZZm de enteros m´odulo m, con la suma y
producto m´odulo m es un ejemplo de anillo conmutativo con unidad, el
cual es finito. La suma y el producto m´odulo m se definen de la forma
siguiente:
Para [a], [b] en ZZmse tiene
[a] + [b] = [a + b]
[a][b] = [ab]
Ejemplo 3: Si p es un n´
umero primo, entonces los enteros m´odulo
p, denotado por ZZp , es un cuerpo. Para verificar esto, basta observar
que si [a] = [0] en ZZp , entonces p | a y por lo tanto p y a son primos
relativos.
Luego existen enteros x e y tales que
a·x+p·y =1
Luego
a · x ≡ 1 mod p.
Por lo tanto en ZZp se tiene que

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Cap´ıtulo 7. Anillos[a] · [x] = [1]
de esto se sigue que el elemento [a] es invertible.
Ejemplo 4: Sea I = [0, 1] el intervalo cerrado de n´
umeros reales y
sea R el conjunto de funciones de I en los n´
umeros reales.
Si f y g son dos funciones, la suma y el producto de ellas se define
por:
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f · g)(x) = f (x) · g(x)
Entonces es f´acil verificar que R es un anillo con este par de operaciones.Adem´as R posee unidad y R es un anillo conmutativo.
Ejemplo 5: Sea R el conjunto de matrices cuadradas de orden 2 × 2
con coeficientes reales. Los elementos de R son de la forma:


A=

a11 a12




a21 a22

donde aij ∈ R, 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 2.
Si A y B son dos elementos de R, entonces la suma y el producto
est´an dadas por:


A+B = 


= 


A·B = 


= 

a11 a12
a21 a22





+...