ANÁLISIS DE FUNCIONES

ANÁLISIS DE FUNCIONES

Conceptos fundamentales

ANALISIS DE FUNCIONES
Esta es una de las aplicaciones importantes del cálculo
Concretamente, se determinan las siguientes características:

diferencial.

Dominio
Rango o Contradominio
Paridad
Intersección con los ejes
Límites infinitos y al infinito
Máximos y Mínimos
Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento
Puntos de Inflexión
Intervalos deconcavidad
Gráfica de la Función.
Dominio:
Se define como el conjunto de valores x   para los cuales la función está
definida; dicho de otro modo, son todos los valores de la variable
independiente x para los cuales existe imagen de la función.
Para encontrar el dominio, se tiene:
a) Cuando la función es un polinomio entero, el dominio es el conjunto de
los reales. Por ejemplo, la función

f ( x)  x 3 x 2  2 x
En este punto es recomendable insertar la gráfica de la función citada en a)

Para esta función, se tiene:
 x  y 
b) En el caso de las funciones racionales, el dominio son todos los valores
x   que no anulan al polinomio del denominador. Por ejemplo,

f ( x) 

x
x 1

Como se puede ver en la gráfica, la función no tiene imagen en x = 1, por lo
tanto, su dominio es elsiguiente:

D f    1 

Ahora se muestra la gráfica de la función

f ( x) 

 2x
x2  4

En este caso, la función no tiene imagen para x = -2, x = 2, por lo que su
dominio es:

D f     2,2

Rango:
El rango de una función f , representado por R f , está dado por el conjunto de
imágenes. Para algunas funciones, como es el caso de los polinomios enteros,
su rango es el conjunto de los númerosreales; para otro tipo de funciones, es
necesario conocer previamente algunas otras propiedades.
La siguiente función tiene como rango al conjunto de los números reales
positivos

f ( x)  x ^ 2

R f  

Si esta gráfica se desplaza verticalmente
corresponde a la función f ( x)  x^2  2

hacia

arriba

dos

unidades,

En este caso, el rango está dado R
por:
f   y   2,   
Paridad:Geométricamente, esta propiedad señala el tipo de simetría de una función.
Simetría respecto al eje “Y”.
En este caso, la gráfica de la función a la derecha del eje “Y” es un reflejo de la
gráfica situada al lado izquierdo de dicho eje, y viceversa. Cuando la función
tiene este tipo de simetría, se dice que la función es de tipo “par”, y cumple
con la siguiente condición matemática:
Si

f ( x)  f ( x) la función es par

Ejemplos de funciones con paridad “par”
f ( x)  x ^ 2  2

f ( x)  x 4  3 x ^ 2  4

f ( x) 

x2 1
2x2  2

f ( x)  x ^ 2

Tomando como base estos ejemplos, se tiene:
“Todo polinomio o función racional
con exponentes enteros pares en la variable independiente,
tiene paridad “par” “
Simetría respecto al origen.
Geométricamente, este tipo de simetría se tiene cuando lagráfica de la función
en los cuadrantes I y III, o II y IV, son un reflejo respecto al origen.
Matemáticamente, la función cumple con la siguiente condición:

f ( x)   f ( x)  la función es impar
Ejemplos de funciones con paridad “impar”:

g ( x)   x 3

g ( x)   x 3

f ( x)  x 3  2 x

g ( x)   x 3  2 x

Intersección con los ejes cartesianos:
Para encontrar los puntos de intersección con eleje X, se resuelve f(x) = 0,
obteniéndose puntos de la forma P(x, 0)
Para determinar la intersección con el eje Y, se resuelve f (0), obteniéndose un
punto de la forma P(0,y)

Límites infinitos y al infinito:
-Límites infinitos.
Este límite puede encontrarse en las funciones con denominador, el cual se
anula para ciertos valores de la variable independiente. Si esto ocurre, dichos
valorescorresponden a las asíntotas verticales de la función, procediéndose a
determinar los límites laterales infinitos, teniéndose las siguientes
posibilidades:
Si x a anula al denominador, se tiene:

 

(límite por la izquierda de x0 )

 

(límite por la derecha de x0 )

lim f x0    o  
lim f x0    o  

En las siguientes figuras se muestran los posibles límites laterales infinitos de
una...