Apuntes Calculo varias varibles

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Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática

VARIAS VARIABLES
para MAT023
Verónica Gruenberg Stern
veronica.gruenberg@usm.cl

Nociones de Topología en Rn

Definición 1.1. Sea x ∈ Rn ,
n

x

=

x = (x1 , x2 , · · · , xn ). Definimos la norma de x, y escribimos

x2
i
i=1

Notar que la norma de un vector en Rn así definida es un número real nonegativo y corresponde
al tamaño ó magnitud de dicho vector.
Definición 1.2. Si x, y ∈ Rn ,
entre ellos está dada por

x = (x1 , x2 , · · · , xn ),

y = (y1 , y2 , · · · , yn ), entonces la distancia
n

d(x, y) =

x−y

=
i=1

(xi − yi )2 .

Si n = 1, 2 ó 3, la distancia así definida coincide con la distancia euclideana usual.
En efecto, si n = 1,

x = x ∈ R,

y = y ∈ R,d(x, y) = d(x, y ) =
Si n = 2,

x = (x1 , x2 ),

y = (y1 , y2 ),

por lo que la distancia
(x − y )2 = |x − y |

entonces

2

d(x, y) = x − y =

i=1

(xi − yi )2 =

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2

Análogamente en el caso en que n = 3.

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1.

Propiedades

Sean x, y ∈ Rn , α ∈ R.
1. x ≥ 0, y

Entonces secumplen las siguientes:

x =0

→
−
x= 0.

⇐⇒

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1.1.

2. αx = |α| x .
3. x − y = y − x .
n

4.
i=1

x i yi ≤ x

y , conocida como la desigualdad de Cauchy–Schwarz .

Demostración. Demostraremos sólo 4 y 5.
→
−
4. Supongamos que x, y son vectores l.i. Luego, tx − y = 0 , ∀t ∈ R, de donde tx − y
es decir:
(tx1 − y1 )2 + (tx2 − y2 )2 + · · · + (txn − yn )2 = 0

2= 0,

Reescribiendo esta relación como una cuadrática en la variable t:
n

n

x2
i
i=1

t2 − 2

n

t+

x i yi

=0

2
yi

i=1

i=1

Esto significa que el discriminante de la correspondiente ecuación de segundo grado en t es
negativo, es decir,
2

n

4

n

−4

xi yi
i=1

⇐⇒

x i yi
i=1

0 :
B (x0 , r) ⊂ U .
Ejemplos
1. En R, los intervalos de laforma I1 =]a, b[, I2 =] − ∞, b[, I3 =]a, ∞[ son conjuntos abiertos.
En cambio no son conjuntos abiertos los intervalos de la forma I4 = [a, b], I5 =]a, b],
I6 = [a, b[, I7 =] − ∞, b], I8 = [a, ∞[.
2. En R2 , el conjunto A = {(x, y ) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} = B (0, 0), 1 es un conjunto abierto. Es
fácil ver que, en general,

B (a0 , b0 ), r

es un abierto,
Y

X

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∀(a0, b0 ) ∈ R2 .

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3.0

3

3. En R2 , el conjunto
superior.

H = {(x, y ) ∈ R2 : y > 0}

es abierto. Se conoce como el semiplano

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¢4 ¡

Y

X

4. En R3 , el conjunto A = {(x, y, z ) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 < 9} es abierto. Gráficamente, es el
interior de una esfera de radio 3 centrada en el origen (sin el borde).

x

y

Definición1.5. Diremos que el conjunto F ⊆ Rn es cerrado si, y sólo si, Rn − F es abierto.
Ejemplos
1. En R, los intervalos I4 , I7 e I8 son conjuntos cerrados, ya que R − I4 = ] − ∞, a[ ∪ ]b, ∞[,
R − I7 =]b, ∞[, R − I8 =] − ∞, a[
son abiertos.
2. En R2 , el conjunto A = {(x, y ) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1} es cerrado, pues
A = {(x, y ) ∈ R2 : x2 + y 2 > 1} es un conjunto abierto.
3. En R2 , el conjunto A= {(x, y ) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0} es cerrado. Corresponde, gráficamente,
al primer cuadrante del plano cartesiano, incluyendo el borde.
4. En R3 , el conjunto A = {(x, y, z ) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 9} es cerrado, y también lo es el
conjunto A = {(x, y, z ) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 9}.
Definición 1.6. Sea A ⊆ Rn ; diremos que q ∈ Rn es un punto de acumulación de A si y sólo
si,
∀ r > 0,
B (q, r)− {q} ∩ A = ∅
Denotamos al conjunto de los puntos de acumulación de A como
A = {q ∈ Rn : q es punto de acumulación de A}

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z

1. En R, consideremos el intervalo I =]a, b]. Si x ∈ ]a, b[ entonces (B (x, r) − {x}) ∩ I = ∅. Por
lo tanto, todos los x ∈ R : a < x < b son puntos de acumulación de I . Además, si x = a,...