apuntes de integrales

Particiones. Sumas de Riemann. Propiedades.
Objetivos Específicos
 Determinar si una función es o no integrable según Riemann.
 Calcular el valor exacto de una integral definida.
 Calcular el valor aproximado de una integral definida.

La integral Definida
Introducción: La derivada se origino por el problema de hallar la pendiente de la recta
tangente a una curva en un punto dado deella. Ahora la Integral Definida la veremos
como una herramienta originada por la necesidad de calcular el área de una región
plana.
Para ello necesitamos conocer la definición de Partición de un intervalo cerrado.

1. Partición de un intervalo cerrado
Definición: Se define Partición de un intervalo cerrado a,b , al conjunto P , de puntos
x0  a ; x1 ; x2 ;.............; xn  b / xi  xi 1con i  1,......, n

Gráficamente:

a  x0

x1

x2

xi 1

b  xn

xi

subintervalo

Observaciones
1. Toda Partición P de a,b , divide en n subintervalos al intervalo a,b .
2. La longitud de cada subintervalo xi 1 , xi  , i  1 , 2 , ....., n

xi  xi  xi 1 con I  1, ......., n

n

y

 x
i 1

i

, se simboliza como
ba

3. Se llama “norma de laPartición P ”, al número P  máxxi / i  1, 2 , ........, n
4. Si a,b se divide en n subintervalos de igual longitud, la longitud de cada
subintervalo es

M.C./V.R./J.C.

ba
n

y de denota como x , luego

P  x . Además

Página 1

x0  a , x1  a   x , x2  a  2 x , x3  a  3 x , ......xi  a  i x , ............., xn  b

5. En a,b hay infinitas Particiones.
6.Si P1 y P2 son particiones en a,b y P1  P2 entonces P2 , se llama refinamiento
de P .
1

Ejemplo:
Consideremos el intervalo cerrado 0 , 2, y los conjuntos

P  0 ; 0,2 ; 1 , 0,8 ; 1,5 ; 2 ; 1,7 ; 0,1 
1
P2  0,2 ; 1 , 0,8 ; 1,5 ; 1,7 ; 0,1 ; 2 
P3  0 ; 0,2 ; 1 , 0,8 ; 1,99 ; 1,5 ; 2 ; 1,7 ; 0,1 

P4  0 ; 0,2 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 0,1 ; 3 
¿Qué conjuntos son Particiones de 0, 2?
Solución:
Observamos que los conjuntos P1 , P3 y P4 , tienen como elementos al 0 y al 2 , y
se cumple en P1 que 0  0,1  0,2  0,8  1  1,5  1,7  2 ,
en P3 que 0  0,1  0,2  0,8  1  1,5  1,7  1,99  2
y en P4 que 0  0,1  0,2  1  1,5  2  3
Pero sucede que solo P1 y P3 son particiones de 0 , 2. ¿Por qué?

P1 y P3 , tiene como elemento el 0 y el 2 . En cambio P4 ,tiene el 3 y 3 0 , 2 .
¿Por qué P2 no es Partición de 0 , 2?
Debido que le falta el 0, y 0  0 , 2
¿Es P3 , un refinamiento de P1 ? ¿Por qué?
Si es refinamiento, ya que P1  P3

2. Sumas de Riemann
Vamos a utilizar las Particiones, para determinar el área de una región plana limitada
por la gráfica de una función f , el eje X y las rectas x  a y x  b .
Para ello utilizaremos comoejemplo la función f ( x)  x 2 , el eje X, y las rectas x  1
y x  3.

M.C./V.R./J.C.

Página 2

Gráficamente
Y

y= f(x) = x 2

R

X

3

1

Nuestro objetivo es calcular el área A de la región plana R
Vamos a dividir 1,3 en 4 subintervalos de igual longitud, es decir
x 

b  a 3 1 1

 .
n
4
2

Luego la longitud de cada subintervalo es

1
, y para determinarlos elementos de la
2

partición, hacemos

x0  1 , x1  1 

1
1
1
1
, x 2  1  2  , x3  1  3  , x 4  1  4   3
2
2
2
2

Luego, la partición queda P   ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3
1
Donde los intervalos de igual longitud son 1 ; 1,5; 1,5 ; 2; 2 ; 2,5; 2,5 ; 3
Una aproximación por defecto del área A , se halla calculando la suma de las áreas de
los 4 rectángulosformados como se muestra en el gráfico siguiente: (rectángulos
inferiores)

M.C./V.R./J.C.

Página 3

Y

y= f(x) = x 2

1

1,5

2

2,5

3

X

1
1
1
1
1 91
1 25 1
Ainf .  f 1·  f 1,5·  f 2·  f 2,5·  1·  ·  4·  ·
2
2
2
2
2 42
2 4 2



1 9
25  27
 6,75  s(4)
1   4   
2 4
4 4

Es decir, Ainf  f x0  x1  x0   f x1 x2 ...