Apuntes Integral De Riemann

1

La Integral de Riemann
Profesores: Miguel Olivares B.
Manuel Fuenzalida A.

1.

Sumas Superiores e inferiores

Definici´
on 1 Sean a, b ∈ R con a < b. Se dice que P = {t0 , . . . , tn } es una partici´on
del intervalo [a, b] si los n´
umeros del conjunto P cumplen: a = t0 < · · · < tn = b. Es
decir, una partici´on del intervalo [a, b] es cualquier conjunto finito que contiene a los
n´
umeros ay b.
Notar que la partici´on P divide al intervalo [a, b] en n subintervalos de la forma
Ii = [ti−1 , ti ], con i ∈ {1, . . . , n}
Ejemplo 1 P = {0, 1, 3, 5, 6} es una partic´on del intervalo [0, 6]
Definici´
on 2 Sea P : a = t0 < · · · < tn = b una partici´on del intervalo [a, b] y
f : [a, b] → R una funci´on acotada, para cada i ∈ {1, . . . , n} se denota por:
mi = ´ınf{f (t) : ti−1 ≤ t ≤ ti},
Mi = sup{f (t) : ti−1 ≤ t ≤ ti },
Ii = [ti−1 , ti ],
ti = ti − ti−1 , la longitud del subintervalo Ii
(2.1)

Se define la suma inferior de f seg´
un la partici´on P al n´
umero:
n

I(f, P ) =

mi ti
i=1

.
(2.2)

Se define la suma superior de f seg´
un la partici´on P al n´
umero :
n

S(f, P ) =

Mi ti
i=1

2
Observaci´
on 1 De las definiciones anteriores es evidente que: I(f, P ) ≤ S(f, P ).Observaci´
on 2 Como la funci´on f es acotada en [a, b] entonces f es acotada en cada
subintervalo Ii , por tanto, existe el supremo y el infimo para f en cada subintervalo
Ii .
Ejemplo 2 Calcular I(f, P ) y S(f, P ) para f (x) = c con x ∈ [a, b] y c una constante
real.
Soluci´
on
Sea P = {t0 , t1 . . . , tn } una partici´on del intervalo [a, b]. Entonces como f es una
funci´on constante se cumpleque:
mi = Mi = c para cada i ∈ {1, . . . , n}
Luego:
n

I(f, P ) =
.

n

n

c·

mi ti =

ti = c(b − a)

ti = c

i=1

i=1

i=1

n

n

n

S(f, P ) =

c·

Mi ti =
i=1

i=1

ti = c(b − a)

ti = c
i=1

.
Ejemplo 3 Sea f : [a, b] → R una funci´on definida por:
f (t) =

1 si t ∈ Q
0 si t ∈
/ Q.

Calcular I(f, P ) y S(f, P ).
Soluci´
on
Sea P = {t0 , t1 . . . , tn } una partici´on del intervalo [a, b].Entonces como en cada
intervalo Ii = [ti−1 , ti ] hay n´
umeros irracionales y racionales ( debido a la densidad
de Q en R)se tiene que:
mi = 0 y Mi = 1 para cada i ∈ {1, . . . , n}

3
Luego,
n

I(f, P ) =

n

0·

mi ti =
i=1

.

n

S(f, P ) =

ti = 0

i=1
n

1·

Mi ti =
i=1

ti = b − a

i=1

.
Lema 1 Sean P y Q particiones de [a, b] tal que P sea un refinamiento de Q, es decir,
P ⊆ Q. Entonces,(1.1)

I(f, P ) ≤ I(f, Q)

(1.2)

S(f, Q) ≤ S(f, P ).

Lema 2 Sean P y Q particiones de [a, b] y f : [a, b] → R acotada. Entonces,
I(f, P ) ≤ S(f, Q).
Ejercicio 1 Sea P = {t0 , t1 . . . , tn } una partici´on de [a, b] y f : [a, b] → R. Calcular
I(f, P ) y S(f, P ) en cada uno de los casos siguientes:
(1.1)

f (t) = 2

(1.2)

f (t) = t.

(1.3)

f (t) = t y

ti = (b − a)/n, (i ∈ {1, . . . , n}).Definici´
on 3 Sea f : [a, b] → R acotada y denotemos por P([a, b]) el conjunto de
todas las particiones de [a, b]. La integral inferior y superior de f en [a, b] se define,
respectivamente, como sigue:
(3.1)

b
f (x) dx
a

= sup{I(f, P ) : P ∈ P([a, b])}.

(3.2)

b
f (x) dx
a

= ´ınf{S(f, P ) : P ∈ P([a, b])}.

De esta definici´on se deduce:
b

I(f, P ) ≤

b

f (x) dx ≤
a

f (x) dx ≤ S(f, P )
a

4Definici´
on 4 Se dice que f es Riemann integrable en [a, b] si y s´olo si,
b
f (x) dx
a

=

b
f (x) dx.
a
b
a

En este caso, este valor com´
un se denota por:

f (x) dx y se llama integral de

Riemann.
Ejemplo 4 Demuestre que la funci´on f (x) = c con x ∈ [a, b] y c una constante real
es Riemann integrable.
Soluci´
on: Del ejemplo 2 se obtuvo:

I(f, P ) = S(f, P ) = c(b − a)
,
independiente de lapartici´on P .
De esta forma se concluye que:
b

b

f (x) dx = c(b − a) =
a

f (x) dx
a

De la definici´on 4 se tiene que la funci´on constante es Riemann integrable en el
intervalo [a, b] y se cumple:

b
a

f (x) dx = c(b − a)

Ejemplo 5 Demuestre que la funci´on f : [a, b] → R definida por:
f (t) =

1 si t ∈ Q
0 si t ∈
/ Q.

no es Riemann integrable.
Soluci´
on
Del ejemplo 3 se tiene:
I(f, P )...