Apuntes estructuras algebraicas

Universidad Andres Bello - Primer semestre 2011- Prof. Mariela Carvacho B.

Apuntes introductorios a Estructuras Algebraicas
Definici´n: Sea G un conjunto no vacio. Una ley de composici´n interna en el conjunto G es una funci´n o o o En la literatura algunos autores utiliz´n el t´rmino operaci´n binaria en lugar de ley de composici´n interna. a e o o Ejemplos: 1. Considere G = R yconsideraremos la operaci´n binaria suma, es decir o +: R×R (x, y) −→ → R x+y = + definida por : G × G → G.

2. Considere G = N y defina la operaci´n ∗ en N como: para a, b ∈ N, o a a b= b Por ejemplo para a = 1, b = 2 1 2 y este n´mero claramente no pertenece a N. De esta forma vemos que u N, pues ∗ no es una funci´n de N × N en N. o a b=1 2= Definici´n: Un conjunto G no vacio con una ley de composici´ninterna o o propiedades: La operaci´n o es asociativa. Es decir (∀x, y, z ∈ G) ((x y) z = x (y Existencia de elemento neutro. Es decir (∃e ∈ G)(∀x ∈ G)(x e = e x = 1) Existencia de inversos. Es decir (∀x ∈ G)(∃y ∈ G)(x y = y Si la operci´n o Ejemplos: 1. El conjunto N0 = N ∪ {0} con la operaci´n + no es un grupo. La propiedad existencia de inverso no se cumple pues por o ejemplo para x = 1 el inverso es−1 y este n´mero no pertenece a N0 . u 2. El conjunto Z con la operaci´n + es un grupo abeliano. o 3. El conjunto R con la operaci´n + es un grupo abeliano. o 4. El conjunto R − {0} con la operaci´n multiplicaci´n es un grupo abeliano. (Es importante notar que si se considera todo o o el conjunto R con la operaci´n multiplicaci´n entonces la propiedad existencia de inversos no se cumple para 0 ).o o 5. Considere el conjunto Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} y la operaci´n ∗ definida por la siguiente tabla: o ∗ 1 −1 i −i j −j k −k 1 1 −1 i −i j −j k −k −1 −1 1 −i i −j j −k k i i −i −1 1 −k k j −j −i −i i 1 −1 k −k −j j j j −j k −k −1 1 −i i −j −j j −k k 1 −1 i −i k k −k −j j i −i −1 1 −k −k k j −j −i i 1 −1 x = e) es conmutativa entonces se dice que G es un grupo conmutativo o grupoabeliano. z)) no puede ser una ley de composici´n interna para o

se dice que es un grupo si se cumplen las siguientes

G con esta operaci´n ∗ es un grupo, pero no es conmutativo, por ejemplo i ∗ j = k pero j ∗ i = −k. o

1

Definicion Un anillo es un conjunto no vacio A junto con dos leyes de composici´n interna de A (denotadas por o que: (A, ) es un grupo abeliano. La operaci´n ∗ es asociativa.o Distributibidad: (∀a, b, c ∈ A) ([a ∗ (b c) = (a ∗ b) (a ∗ c)] ∧ [(b c) ∗ a = (b ∗ a) (c ∗ a)]) En el caso que la operaci´n ∗ sea conmutativa, se dice que A es un anillo conmutativo. o

y ∗ ) tal

Llamemos e al neutro de la operaci´n . Ahora si A − {e} es un grupo abeliano con la operaci´n ∗ entonces se dice que A es un o o cuerpo. En el caso que este ultimo grupo no sea abeliano se diceque A es un cuerpo no conmutativo o un anillo de divisi´n. ´ o Ejemplos: 1. Consideremos el conjunto de los enteros por las siguientes tablas: + 0 1 2 3 m´dulo 4, Z4 = {[0]4 , [1]4 , [2]4 , [3]4 }, y las leyes de composici´n interna definidas o o 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 * 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1

,

(Z4 , +, ∗) es un anillo conmutativo. Adem´s se ve que noes un cuerpo pues A − {0} no es un grupo. La propiedad que a falla es la existencia de inversos para la ley de composici’on interna ∗, la clase de 2 no tiene inverso. 2. Consideremos el conjunto Q0 = Q ∪ {0} = {0, 1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} con las leyes de composici´n interna + y ∗ (∗ esta o definida en los ejemplos anteriores). (Q0 , +, ∗) es un cuerpo no conmutativo. En el ejemplo anteriorcomprobamos que Q = Q0 − {0} es un grupo no abeliano y no es dif´ ver que (Q0 , +) es un grupo abeliano. ıcil 3. (R, +, ·) es un cuerpo. 4. (C, +, ·) es un cuerpo. 5. Consideremos los enteros m´dulo 3, Z3 = {[0]3 , [1]3 , [2]3 } y las leyes de composici´n interna definidas por las siguientes o o tablas: + 0 1 2 * 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 , 1 1 2 0 1 0 1 2 2 2 0 1 2 0 2 1 En este caso podemos ver que (Z2...