Apuntes Rectasyplanos

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Campus Santiago

Rectas en el espacio
−
→
−
→
Definición. Sea →
p un punto dado y d un vector no nulo. Definimos la recta que pasa por −
p y es
−
→
paralela a d como el conjunto de puntos
−
→
→
L=−
p +λd
−
→
Observación. El vector d se llama vector director de la recta L.
→
−
→
En términos de coordenadas, sea −
p = (x0 , y0 , z0), d = (d1 , d2 , d3 ). El punto (x, y, z) está en la
recta si
x
y
z

= x0 + λd1
= y0 + λd2
= z0 + λd3

Esta forma de escribir la ecuación de la recta se llama forma paramétrica, de parámetro λ.
Si en cada ecuación anterior, despejamos el parámetro λ obtenemos
λ

=

x − x0
d1

λ

=

y − y0
d2

λ

=

z − z0
d3

=⇒

x − x0
y − y0
z − z0
=
=
d1
d2
d3

Estas son las ecuaciones simétricas de la recta.−
→
Si conocemos dos puntos →
p1 y −
p2 , la ecuación de la recta que pasa por ellos es
L = (x1 , y1 , z1 ) + t(x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 ),

t∈R

La forma paramétrica de la ecuación de la recta que pasa por dos punto es:
x =
y =
z =
y la forma simétrica es:

x1 + t(x1 − x2 )
y1 + t(y1 − y2 )
z1 + t(z1 − z2 )

x − x1
y − y1
z − z1
=
=
x1 − x2
y1 − y2
z1 − z2
→
−
→
−
→
→
Definición. Dos rectas L1 =−
p1 + td1 , t ∈ R y L2 = −
p2 + r d2 , r ∈ R son paralelas si sus vectores
−
→
→
−
directores son paralelos. Es decir, d1 = ad2 con a ∈ R y a = 0

Planos
→
→
→
Definición. Un conjunto Π ⊂ R3 es un plano si existe un vector −
p y dos vectores −
u y−
v no paralelos
tales que
→
→
→
Π=−
p + α−
u + β−
v
−
→
−
En términos de coordenadas, si →
p = (x0 , y0 , z0 ), −
u = (u1 , u2 , u3 ), →
v = (v1 , v2, v3 ), entonces
x =
y =
z =

x0 + αu1 + βv1
y0 + αu2 + βv2
z0 + αu3 + βv3

Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas del plano.
Un plano en R3 se puede determinar especificando un punto contenido en él y un vector normal al
plano, es decir, un vector perpendicular a él.
→
En efecto, dado el punto P = (x0 , y0 , z0 ) y el vector −
n = (n1 , n2 , n3 ) un punto Q = (x, y, z) ∈ Π si
−−→ −
→
ysolo si P Q ⊥ n . Es decir
−−→ −
PQ · →
n =0

⇐⇒ (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) · (n1 , n2 , n3 ) = 0
⇐⇒ (x − x0 )n1 + (y − y0 )n2 + (z − z0 )n3 = 0
⇐⇒ n1 x + n2 y + n3 z − x0 n1 − y0 n2 − z0 n3 = 0

Por lo tanto, la ecuación general de un plano es
ax + by + cz + d = 0
donde el vector (a, b, c) es normal al plano.
Un plano puede ser determinado conociendo 3 puntos no colineales. En efecto, sean P1 ,P2 , P3 los
−−−→ −−−→
−−−→ −−−→
−−−→
→
puntos, formamos los vectores P1 P2 y P1 P3 . El vector −
n = P1 P2 × P1 P3 es perpendicular a P1 P2
−−−→
→
−
y a P1 P3 . Luego, −
n es normal al plano. Usamos cualquiera de los 3 puntos Pi y →
n y obtenemos la
ecuación del plano.
Ejemplo: Determine la ecuación del plano que pasa por los puntos
P1 = (2, −2, 1),

P2 = (−1, 0, 3),

Formemos los vectores
−−−→P1 P2 = P2 − P1 = (−3, 2, 2)
ahora el vector normal

y

P3 = (5, −3, 4)

−−−→
P1 P3 = P3 − P1 = (3, −1, 3)

−−−→ −−−→
→
−
n = P1 P2 × P1 P3 = (8, 15, −3)

Por lo tanto, la ecuación del plano es dada por:
(x − 2, y + 2, z − 1) · (8, 15, −3) = 0 ⇐⇒ 8x + 15y − 3z + 17 = 0
Teorema. Dados dos planos
Π1 = a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0

y

Π2 = a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0

se tiene
1. Π1

Π2 ⇐⇒ a1 = ka2 ,b1 = kb2 ,

c1 = kc2 con k ∈ R y k = 0

2. Π1 ⊥ Π2 ⇐⇒ (a1 , b1 , c1 ) · (a2 , b2 , c2 ) = 0
3. Π1 = Π2 ⇐⇒ a1 = ka2 ,

c1 = kc2 , d1 = kd2 con k ∈ R y k = 0
−
→
→
Teorema. Consideremos la recta L = −
p + λ d y el plano Π = αx + βy + γz + δ = 0. Se tiene
−
→
1. L Π ⇐⇒ (α, β, γ) · d = 0
−
→
2. L ⊥ Π ⇐⇒ d

b1 = kb2 ,

(α, β, γ) ⇐⇒ α = kd1 ,

β = kd2 ,

→
−
γ = kd3 , donde k = 0 y (d1 , d2 , d3 ) = d.

Definición. Llamaremos haz de planos coaxiales a aquellos planos que pasan por una recta L, llamada
eje del haz.
Dados dos planos Π1 y Π2 tal que Π1 ∩ Π2 = L, la ecuación del haz de planos está dada por
Π1 + λΠ2 = 0

Distancia punto recta
→
−
Consideremos la recta L que pasa por el punto P0 = (x0 , y0 , z0 ) y tiene como vector director a d .
Sea P = (x, y, z) un punto que no pertenece a L....