Axioma del supremo

1.3.4 axioma del supremo

Antes de presentarles el axioma del supremo, axioma de los números reales, debemos estudiar una serie de
definiciones que sirven para acotar conjuntos: cotas superiorese inferiores, máximos y mínimos, supremos e
ínfimos.
Acotado Superiormente
Un conjunto A es acotado superiormente si existe un real M que es mayor que todos los elementos del
conjunto A, es decir(9M 2 R) (8x 2 A) tal que: x _ M.
A este número M, se le llamará cota superior de A.
Observación
Cualquier otro real mayor que M, también será una cota superior de A.
Acotado Inferiormente
Unconjunto A es acotado inferiormente si existe un real m que es menor que todos los elementos del
conjunto A, es decir
(9m 2 R) (8x 2 A) tal que: m _ x.
A este número m se le llamará cota inferiorde A.
Observación
Cualquier otro real menor que m, también será una cota inferior de A.
Observación
Un conjunto acotado superior e inferiormente, se dice acotado.

Ejemplos
1 A = (−1, 5). Esteintervalo es acotado superiormente, una cota superior es 5, y el conjunto de las cotas
superiores es [5,1).
No hay cotas superiores m < 5, ya que siempre existe " > 0 tal que m + _ 2 A y m< m + ".
El intervalo no es acotado inferiormente pues dado un real m < 5, una cota inferior para m sería m − 1,
pero m − 1 2 A.
1 A = [−1, 3] . Este intervalo es acotado superior einferiormente. El conjunto de las cotas superiores es el
intervalo [3,1). Y el de las cotas inferiores es el intervalo (−1,−1] .
Observación
Una forma de demostrar que un real c es una cota superior paraun conjunto A, es probar que ningún real
x > c pertenece a A.
Ejemplo
A =
_
x 2 R : x2 _ 2

Veamos si c = 32
es cota superior de A. Si x > 32
, entonces x2 >
3
2
_2
= 94
>2. Por lo tanto x /2 A. Esto quiere
decir que ningún real mayor que 32
puede estar en A.

1.4 intervalos y su representacion mediante igualdades

Cerado [….]
[−1, 3]

Abierto(….)
(−1, 5)...