Axiomas De Kolmogorov

Los Axiomas de Kolmogorov. Parte II.
1 Sucesiones infinitas de Eventos y el problema de la Medida de Probabilidad

Hasta el momento hemos estudiado modelos de probabilidad cuya clase de eventos incluye composiciones finitas de eventos, es decir, eventos que pueden construirse con uniones e intersecciones finitas de otros eventos. Sin embargo, hay ocasiones, tanto en la pr´ctica como en la teor´en donde es necesario a ıa, considerar modelos de probabilidad con eventos compuestos de uniones e intersecciones de sucesiones infinitas de eventos, as´ como sus probabilidades. ı Ejemplo 1. Supongamos que una poblaci´n inicial de cierta cantidad de baco terias, produce descendencia del mismo tipo. La descendencia de la poblaci´n inicial es llamada segunda generaci´n, y as´ sucesivamente. o o ı Loscient´ ıficos est´n interesados en conocer ciertos procesos de reproa ducci´n y de muerte de esta poblaci´n. En particular, tienen inter´s en o o e la eventualidad de que la poblaci´n se extinga completamente en alg´n o u momento. En este caso, podemos considerar, para cada n ≥ 1, el evento En como “la poblaci´n est´ extinta en la generaci´n n” y la uni´n o a o o
∞

E :=
n=1

En ,

quepodemos interpetrar como el evento “la poblaci´n se extingue en o alguna generaci´n”. Suponiendo que se conoce P(En ), ¿c´mo podr´ o o ıamos calcular P(E)? Ejemplo 2. Supongamos que lanzamos una moneda una infinidad de veces. ¿Cu´l es el evento: “la moneda cae en sol una infinidad de veces”? Si a definimos Sn como el evento “cae sol en el n-´simo lanzamiento”, para e cada n ≥ 1, entonces el evento “lamoneda cae en sol una infinidad de veces” est´ determinado por a
∞ ∞

lim sup Sn =
n n=1 k=n

Sk .

Suponiendo que este conjunto es un evento, ¿c´mo podemos calcular su o probabilidad? 1

2

σ-´lgebra de eventos. a

Resulta evidente que el concepto de ´lgebra es ya insuficiente. De los ejema plos anteriores, se intuye que el concepto de ´lgebra debe ser extendido a un a concepto m´sgeneral que incluya la propiedad de que si An ∈ F para todo a n ≥ 1 entonces
∞

An ∈ F.
n=1

Exponemos entonces de manera formal la definici´n siguientes. o Definici´n 1 (σ-´lgebra). Sea F una familia de subconjuntos de un conjunto o a Ω. Decimos que F es un σ-´lgebra sobre Ω si a (σ1) Ω ∈ F. (σ2) Si A ∈ F, entonces Ω\A ∈ F. (σ3) Si {An }n≥1 es una sucesi´n de elementos en F, entonces o
∞

An∈ F.
n=1

Ejemplo 1. Sobre cualquier espacio no vac´ Ω, las familias ıo P(Ω) = {A | A ⊆ Ω} y P0 = {∅, Ω}

son σ-´lgebras sobre Ω. Si F es cualquier σ-´lgebra sobre Ω, entonces a a P0 ⊂ F ⊂ P(Ω). Ejemplo 2. Sea Ω el peque˜o espacio {1, 2, 3, 4}. Y consideremos las familias n A = {∅, Ω, {2, 3, 4}, {1}}, B = {∅, Ω, {1}, {2}, {1, 2}, {3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}} y C = {∅, Ω, {1, 3, 4}, {2}}.Mediante una inspecci´n visual notamos que todas o ellas poseen estructura de σ-´lgebra sobre el mismo espacio Ω. Sin embargo, a las familias D = {{1}, {2}, ∅} y E = {{1}, {2}}, no son σ-´lgebras sobre Ω. a Ejemplo 3. Por convenci´n entenderemos como subconjunto contable, aquel o subconjunto (o espacio) de cardinalidad finita o a lo sumo infinito numerable. Sea Ω un espacio no contable. Consideremosla familia F = {A ⊆ Ω | A es contable o Ac es contable}. Entonces F es σ-´lgebra. a 2

Evidentemente, un σ-´lgebra es tambi´n un ´lgebra, y por tanto es cerrado a e a bajo cualquier operaci´n finita de subconjuntos. Sin embargo, una familia o cerrada bajo uniones finitas no necesariamente es un σ-´lgebra. a Ejemplo 4. Sea Ω = (0, 1]. La familia
n

G=
i=1

Ai | n ∈ N, Ai ∈ C ∀ i = 1, ..., n,y Ai ∩ Aj = ∅ si i = j

,

donde C = {(x, y]|0 ≤ x ≤ y ≤ 1}, es cerrada bajo uniones finitas. De hecho G es un ´lgebra. Sin embargo no a es σ-´lgebra. Por ejemplo, los intervalos (1/2n, 1/(2n − 1)] pertencen a G a (de hecho pertenecen a C), pero, dado que son ajenos, su uni´n no puede ser o expresada como una uni´n finita de intervalos en A. o Hay otras formas equivalentes de describir un...