Axiomas Demostraciones

Sistemas de los Números Reales
El sistema de los números reales es un cuerpo ordenado y completo. Lo notaremos R.
En R consideraremos las operaciones usuales de adición y multiplicación.
x, y ∈ R: x + y ∈ R, xy ∈ R.
Las operaciones de adición y multiplicación satisfacen los siguientes axiomas conocidos
como axiomas de cuerpo.
∀x, y ∈ R, x + y = y + x ; xy = yx
∀x, y , z ∈ R, x + ( y + z ) = ( x +y ) + z y x ⋅ ( y ⋅ z ) = ( x ⋅ y ) ⋅ z
∃0 ∈ R, ∀x ∈ R, x + 0 = 0 + x = x , y ∃1 ∈ R, 1 ≠ 0 , ∀x ∈ R, x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x
∀x ∈ R, ∃ − x ∈ R, x + ( − x ) = 0 y ∀x ∈ R*, ∃x −1 ∈ R, x ⋅ x −1 = 1 . Estos son
llamados opuesto e inverso respectivamente.
5. ∀x, y , z ∈ R, x( y + z ) = xy + xz
1.
2.
3.
4.

Teorema 1: Los elementos 0 y 1 del axioma 3 son únicos.
Demostración:
Supongamos que existen doselementos 0 y 0’, con 0 ≠ 0' tales que:
∀x ∈ R, x + 0 = x y,
∀x ∈ R, x + 0' = x
Entonces tenemos que:
0'+0 = 0'
0 + 0' = 0

(1)

Pero por axioma 1 se cumple que:
0 + 0' = 0'+0 = 0 (2)
De donde, igualando (1) y (2) vemos que,
0 = 0'

Pero por hipótesis teníamos que 0 ≠ 0' , por lo tanto lo que supusimos es incorrecto y en
consecuencia el este 0 es único.
Teorema 2: El opuesto y el inverso son únicos(Unicidad del opuesto y del inverso).
Demostración:
Supongamos que existen dos elementos x ' y x '' , con x ' ≠ x '' , tal que:

∀x ∈ R, x + x ' = 0 y,
∀x ∈ R, x + x '' = 0
Ahora, por axioma 3, se cumple que,
x' = x' + 0
= x ' + x + x ''

(

(

)

)

= x ' + x + x ''
= 0 + x'
Pero por hipótesis teníamos que x ' ≠ x '' , por lo tanto lo que supusimos es incorrecto y
en consecuencia el opuesto esúnico.
De manera similar se prueba que el inverso también es único.
Teorema 3: Sean a, b, c ∈ R. Se tiene:
i.

a+c =b+c⇒a =b

Demostración:

( a + c) = ( b + c)
( a + c) + ( − c) = ( b + c) + ( − c)
a + [c + ( − c)] = b + [c + ( − c)]
a+0=b+0
a=b
ii.

0 ⋅ a = 0 , ∀a ∈ R
Demostración:
0 ⋅ a = ( 0 + 0) ⋅ a
0⋅a = 0⋅a + 0⋅a
0⋅a + 0 = 0⋅a + 0⋅a
Ahora bien, por axioma 1 se cumple que:
0⋅a + 0 = 0 + 0⋅a =0⋅a + 0⋅a

Luego, por i, tenemos
0 = 0⋅a

a ⋅b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0

iii.

Demostración:
Si a ≠ 0 y a ⋅ b = 0 , existe un a −1 tal que a ⋅ a −1 = 1 .
Por otra parte,
a ⋅b = 0

(a ⋅ a ) ⋅ b = a
(a a) ⋅ b = 0
−1

−1

0

−1

1⋅ b = 0
b=0
a ⋅ c = b ⋅ c ⇒ a = b , con c ≠ 0

iv.

Si c ≠ 0 , existe un c −1 , tal que c ⋅ c −1 = 1
Por otra parte,
a⋅c = b⋅c
c −1 ⋅ ( a ⋅ c ) = c −1 ⋅ ( b ⋅ c )

(c

−1

)

(

)⋅ c ⋅ a = c −1 ⋅ c ⋅ b
1⋅ a = 1⋅ b
a=b
Definición: Sean a, b ∈ R, la diferencia a − b se define como a + ( − b ) . Si b ≠ 0 ,
a b = a ⋅ b −1 .
Teorema 4: Sean a, b, c ∈ R. Entonces:
i.

( )

− ( − a ) = a y a −1

−1

=a

Demostración:
a + ( − a) = 0
y,
( − a) + [− ( − a)] = 0
Entonces, vemos que el opuesto de ( − a ) es − ( − a ) , y por unicidad el opuesto,
podemos concluir que − ( − a ) = a .
Deigual forma,
y,
a ⋅ a −1 = 1

(a ) ⋅ (a )
−1

−1 −1

=1

( )

( )

Entonces encontramos que el inverso de a −1 es a −1

( )

inverso, podemos concluir que a

ii.

−1 −1

−1

y por unicidad del

=a.

( − a ) ⋅ b = a ⋅ ( − b ) = −a ⋅ b
Demostración:
Sabemos que − ( a ⋅ b ) es el opuesto de ( a ⋅ b ) , lo que queremos probar es que
dicho opuesto es igual a ( − a ) ⋅ b .
En efecto:

( − a ) ⋅ b + ( a⋅ b) = b ⋅ [ ( − a ) + a]

(Por axioma 5)

= b⋅0
=0

Y por unicidad del opuesto, podemos concluir que ( − a ) ⋅ b = − a ⋅ b .

iii.

( − a ) ⋅ ( − b) = a ⋅ b
Demostración:

( − a ) ⋅ ( − b ) = −[ a ⋅ ( − b ) ]
= −( − a ⋅ b )

(Por parte ii)
(Por parte ii)
(Por parte i)

= a ⋅b

iv.

− ( a + b) = −a − b
Demostración:
Sabemos que − ( a + b ) es el opuesto de ( a + b ) . Ahora,

( a + b) + ( − a − b) =( a + b) + [ ( − a ) + ( − b) ]
= [ a + ( − a ) ] + [b + ( − b) ]

(Por axiomas 1 y 2)

= 0+0
=0

Por lo tanto ( − a − b ) es el opuesto de ( a + b ) y por unicidad del opuesto podemos
concluir que − ( a + b ) = − a − b .

Si a ≠ 0 , b ≠ 0 , entonces ( a ⋅ b ) −1 = a −1b −1

v.

Demostración:
Sabemos que ( a ⋅ b ) ⋅ ( a ⋅ b ) −1 = 1 .
Por otro lado,

( a ⋅ b ) ⋅ ( a −1 ⋅ b −1 ) = a ⋅ (...