Cálculo - Proyecto Regla De La Cadena

Páginas: 6 (1290 palabras) Publicado: 5 de noviembre de 2012
Proyecto 3 de cálculo
Cálculo III
Universidad del Valle de Guatemala
Lic. Ricardo Ajiataz
César A. Vargas Monterrosa
04075
Lunes 23 / 05 / 2005
REGLA DE LA CADENA


Repaso
Si tenemos una función compuesta en la cual ésta depende de una variable, la cual a su vez depende de otra variable, la regla de la cadena para derivarla es:

dF = dF dxTeorema 1



Ejemplo 1
Halle la derivada de F(x) = 6x2 , x(t) = 3t3 + 2

Entonces F depende de x y ésta de t, o sea F depende de t, se puede expresar como
F ( x(t) ), y su derivada según el teorema 1 es:

dF/dx = 12x y dx/dt = 9t2 entonces,

dF/dt = (dF/dx) (dx/dt) = (12x)(9t2) = 108xt2




FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE

La regla de la cadena para derivar estasfunciones compuestas se divide en diferentes versiones. Las versiones dependen de cuantas variables independientes hay y además del hecho de ser una función implícita o explícita.

Versión 1

Si tenemos una función de dos variables, f(x,y), y a su vez x e y dependen de una variable t, x(t) y y(t). Consecuentemente, z depende de t, esto es:

z = f (x,y) = f ( x(t) , y(t) )

La regla de lacadena versión 1 da la fórmula para derivar z como función de t, es decir la razón de cambio de z respecto a t.


Teorema 2 dz = δz dx + δz dy

dt δx dt δy dt
Siempre y cuando f sea diferenciable, esto se puede determinar observando si δz/δx y δz/δy son continuas.


Ejemplo 2

z = sen(x)cos(y), x = п t, y = t1/2

δz/ δx = cos(x)cos(y) δz/ δy = -sen(x)sen(y)

dx/dt = п dy/dt = ½ t -1/2

Por el teorema 2 tenemos:

dz/dt = cos(x)cos(y) п - sen(x)sen(y) ( ½ t -1/2 )


Ejemplo 3

w = xy + yz2 , x = et , y = et sen(t), z = et cos(t)

δw/δx = y δw/δy = x + z2 δw/δz = 2yz

dx/dt = et dy/dt = et sen(t) + et cos(t) dx/dt = et cos(t) - et sen(t)


dw/dt = yet + (x + z2) (et sen(t) + et cos(t) ) +(2yz)( et cos(t) - et sen(t) )



Versión 2

Si tenemos una función de dos variables, f(x,y), pero ahora x e y son funciones de dos variables, s y t, x(s,t) y y(s,t). Consecuentemente, z depende de s y de t, esto es:

z = f (x,y) = f ( x(s,t) , y(s,t) )

La regla de la cadena versión 2 da la fórmula para derivar z como función de s o de t, es decir la razón de cambio de z respecto a s o at.


Teorema 3 δz = δz δx + δz δy

δt δx δt δy δt



δz = δz δx + δz δy

δs δx δs δy δs

Diagrama de árbol

Una forma visual de representar y recordar la regla de la cadena es por medio del diagrama de árbol.

Se coloca la variable dependiente (normalmente z) y se unen a ésta las variablesintermedias por medio de líneas, luego cada variable intermedia se ramifica en sus variables independientes, cada rama representa una derivada parcial, así:














Este diagrama se puede extender ilimitadamente, pero esto se verá en el curso de cálculo III.

Si se necesita calcular δz/ δs, se multiplican los diferenciales, de la rama de la variable intermedia x, por la que sepase para llegar a la variable independiente s.

Esto es (δz/ δx) (δx/ δs)

de manera análoga, se hace este producto para cada variable intermedia, y luego se suman los productos:

(δz/ δx) (δx/ δs) + (δz/ δy) (δy/ δs), lo que concuerda con el teorema 3.


Regla de la cadena (versión general)

si u es una función diferenciable de las n variavles x1, x2, x3, …, xn, y cada xi es una funcióndiferenciable de las m variables t1, t2, t3, …, tm, entonces u es una función de t1, t2, t3, …, tm.

Teorema 4 δu = δu δx1 + δu δx2 + … + δu δxn

δti δx1 δti δx2 δti δxn δti


Para cada i = 1, 2,…, m


Ejemplo 4

Escriba la regla de la cadena para el caso donde w = f(x, y, z, t), y x = x(u,v), y =...
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