Calculo 1

Facultad de Ingeniería Instituto de Ciencias Básicas

Unidad

1

Los números reales

Universidad Diego Portales CALCULO I

5

Axiomas de IR como Cuerpo
Admitiremos la existencia de un conjunto IR cuyos elementos se llaman números reales. En el conjunto IR se tienen las operaciones fundamentales: la suma o adición (a+b) y el producto o multiplicación (ab). Considérense lossiguientes axiomas (I) 0∈IR, 1 ∈IR, 0≠1 (II) Asociatividad: Para todo a, b, c∈IR , (a+b)+c = a+(b+c) Existencia de neutro: Existe 0 ∈IR, tal que para todo a∈IR 0+a = a+0 = a Existencia de inverso: Para todo a∈IR, existe (-a)∈IR tal que a+(-a) = (-a)+a = 0 Conmutatividad: Para todo a ,b∈IR, a+b = b+a (III) Asociatividad: Para todo a, b, c∈IR , (ab)c = a(bc) Existencia de neutro: Existe 1 ∈IR, tal que paratodo a∈IR 1.a = a.1 = a
Universidad Diego Portales CALCULO I 6

Existencia de inverso: Para todo a∈IR- {o}, existe a-1∈IR tal que a.a-1 = a-1.a = 1 Conmutatividad: Para todo a ,b ∈IR, ab = ba (IV) Distributividad: Para todo a, b, c∈IR, a(b+c) = ab+ac

El conjunto IR provisto de todos los axiomas dados anteriormente se dice que es un Cuerpo Conmutativo; se escribe (IR, +, • ) es un cuerpo
i)ii) iii) iv) Es posible demostrar que en el cuerpo de los números reales El neutro aditivo (0) es único. En neutro multiplicativo (1) es único. El inverso aditivo (-a) de un número real (a) es único. El inverso multiplicativo (a-1) de un número real (a) es único.

Universidad Diego Portales CALCULO I

7

Lo usual en este tipo de demostraciones es usar el método del absurdo, que consiste ensuponer que hay dos elementos (es decir, no es único) que cumplen la propiedad que los define y bajo ese supuesto llegar a una proposición falsa (absurdo). Por ejemplo, demostrar que el neutro aditivo (0) es único. Supongamos que 0 y 0` ∈ IR son dos neutros aditivos, es decir cumplen que Para todo a en IR, a = 0+a = a+0 (1.1) Para todo b en IR, b+0´= 0`+b = b (1.2) Como 0`pertenece a IR, se puedetomar a = 0` en (1.1) y tener 0`= 0+0`= 0`+0 (1.3) Análogamente considerando b = 0 en (1.2) se tendrá que 0+0`= 0`+0 = 0 (1.4) Conectando (1.3) y (1.4) se tiene que 0`= 0+0`= 0`+0 = 0 Es decir 0 = 0`, lo que hace una contradicción con 0 ≠ 0`.
Universidad Diego Portales CALCULO I 8

Ejercicio: Demuestre que si p2 es par, entonces p es par Ejercicio: La propiedad distributiva se cumple
para lamultiplicación con respecto a la adición. ¿Se cumple la propiedad distributiva para la adición con respecto a la multiplicación?. Esto es, ¿a + (bc) = (a + b)(a + c) es cierto para todos los valores de a, b y c?

Problema: Una tienda de discos ”Música juvenil”
hizo liquidación, ofreciendo 30 CD de Rock a razón de dos por $10.000, y otros 30 en lotes de tres por $10.000. Al cabo del primer díase habían vendido todos. En total, el primer día ingresaron $250.000.

Universidad Diego Portales CALCULO I

9

Al día siguiente, el vendedor puso otros 60 CD en la vitrina. Vendedor: ¿Para qué molestarse en clasificarlos?. Si vendo 30 a razón de dos por $10.000, y otros 30 a razón de tres por $10.000. ¿Por qué no los junto todos y los vendo en lotes de cinco por $20.000?. El resultado seráel mismo. El vendedor tomó la decisión de vender los 60 CD a razón de cinco por $20.000. Pero al final del día, cuando el encargado vio la caja observó con gran sorpresa que sólo había recaudado $240.000.

¿Qué piensa usted que pudo ocurrirle al billete de $10.000 que falta?
Universidad Diego Portales CALCULO I 10

Proposición: Sean a, b ∈IR , entonces

i) ii) iii) iv) v) vii)

- (a + b)= (-a) + (-b) - (-a) = a (ab)-1 = a -1b −1 , (a −1 ) −1 = a b.0 = 0 (-a)(-b) = ab a ≠ 0, a≠0 b≠0

vi) - (ab) = (-a)b = a(-b)

Universidad Diego Portales CALCULO I

11

Notación: Sean a, b∈IR, entonces escribiremos
a + (−b ) = a − b 1 , a a ab -1 = , b a −1 = a ≠ 0 b ≠ 0

Proposición: Sean a, b, d∈IR - {0} y c∈IR; entonces
 a    b  a c + b d a c = . b d
−1

b a ad + bc = bd...