Calculo computarizado

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

Aplicaciones a la física:

Movimiento Armónico Simple:

La Ley de Hooke:

Supongamos que un cuerpo de masa M está sujeto al extremo de un resorte flexible suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura 5.1b. Cuando M se reemplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorteserá, por supuesto, distinto. Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples F=ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numerok.

Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb. Alarga el resorte en 1/2 pie, entonces, 10 = k (1/2) implica que k = 20 lb/pie. Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. alarga el mismo resorte en 2/5 pie.

Segunda Ley de Newton:
Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W esequilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por: W = m .g

En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geolibras (slugs) y (g = 9.8 mt/s^2 p80 cm/(s^2 o) 32pie)/s^2 , respectivamente. Tal como se indica la figura 5.2b, la condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se desplaza de su posición de equilibrio en una magnitud x y despuésse suelta, la fuerza neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley del movimiento de Newton F = ma en donde a es la aceleración (d^2 w)/(dt^2 ). Suponiendo que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento vibratorio libre), entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitución: m (d^2 x)/(dt^2 )= - k (s + x)+ mg = - kx + mg - ks = -kx cero

Ecuación Diferencial Del Movimiento Libre no Amortiguado:

Dividiendo la ultima ecuación planteada entre la masa m, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden: (d^2 x)/(dt^2 )+k/m x = 0 o bien (d^2 x)/(dt^2 )+²x = 0
En donde ^2=k/m
Se dice que la ecuación ( d²x)/dt² + _²x = 0 describe el movimiento armónico simple o movimiento vibratorio no amortiguado.Hay dos condiciones iníciales obvias asociadas con dicha ecuación:
x(0)=( _,dx)/dt% = %t = 0
Que representa la magnitud del desplazamiento inicial y la velocidad inicial, respectivamente. Por ejemplo si _ > 0 y _ < 0, se trata de una masa que parte de un punto abajo de la posición de equilibrio y a la cual se ha comunicado una velocidad dirigida hacia arriba. Si _ < 0 y _ > 0, setrata de una masa en reposo que se suelta desde un punto que está %_ %unidades arriba de la posición de equilibrio. Los demás casos son análogos.

Solución y ecuación de movimiento:

Para resolver la ecuación (d^2 x)/(dt^2 )+ _^2 x = 0 observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar M² - w² = 0 son los números complejo M = _i y Mi = - _i.

De esta forma se obtiene una solucióngeneral: x (t)=C1 〖cos〗_t⁡+ C2 sen _t
El periodo de las vibraciones libres descritas por la última ecuación general planteada es:
T = 2_ /_ Y la frecuencia es: _ =1/T=( _ )/2_.

Por ejemplo, para x (t)= 2cos⁡3t- 4 sen 3t el periodo es 2_ /3 y la frecuencia es 3/2_ . El primer número indica que hay 3 ciclos de la grafica de cada 2_unidad; en otras palabras, la masa realiza 3/2_oscilaciones completas por unidad de tiempo. Además, se puede demostrar que el periodo 2_ /_ es el intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). Finalmente, una vez que hemos determinado las constantes C1 y C2 en x (t)= C1 cos_t⁡+ C2 sen _t mediante las condiciones iníciales x(0) =( _,dx)/dt% = _ %t = 0
Decimos que la solución particular resultante es la ecuación de movimiento....