calculo integral unidad 2

2.1 Definición de Integral Indefinida
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee: integral de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración ypuede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Ejemplo:



Sustitición:



  u= 4x-3

du= 4
dx

du= 4x dx








2.2 Propiedades de integrales indefinidas
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de lasintegrales de esas funciones. 

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx 

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. 

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
Linealidad de la integral indefinida
La primitiva es lineal, es decir:
1. Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitivade kf sobre el intervalo I es kF.
2. Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F +G.
La linealidad se puede expresar como sigue:

La primitiva de una función impar es siempre par
En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que seescribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.

La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0
En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:

2.3 Cálculo de Integrales Indefinidas
Una función f (x) cuyaderivada, en un cierto intervalo del eje x, F’(x) = f (x), decimos que f (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función no es única;… Todas las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una constante cualquiera y que se denomina constante de integración.









2.3.1 Directas
En ocasiones es posible aplicarla relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.
Ejemplo
Calcular la integral indefinida



En una tabla de derivadas se puede comprobar que laderivada de tan(x) es sec 2(x). Por tanto:

Ejemplo 
Calcular la integral indefinida.

Una fórmula estándar sobre derivadas establece que 


De este modo, la solución del problema es  

. .
No obstante, puesto que la función 

 esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, así que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)
 
Ejemplo:   u=cosx
du=-senx dx



2.3.2 Con cambio de variable
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la regla de la cadena. 

 

El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla. 
Pasos para integrar por sustitución 

 

1º Se hace el cambio de variable y se diferenciaen los dos términos: 

 

 

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral: 

 

2º Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar: 

 

3º Se vuelve a la variable inical: 




Ejemplo:




















2.3.3 Trigonométricas
Se debe tener muy claro cuál es la derivada de cada una de las funciones trigonométricas estudiadas....