Calculo Numerico

Páginas: 38 (9315 palabras) Publicado: 10 de febrero de 2016
Cálculo Numérico

PROF: MANUEL ROJAS LEÓN
EMAIL: alquemist@hotmail.com

1

Introducción
Cuando se trata de aplicar la matemática a situaciones reales se encuentra
que en muchos casos los problemas no pueden ser resueltos
analíticamente o de forma exacta, por lo cual se debe recurrir a la
aplicación de algún procedimiento numérico.
Seguidamente se citan algunos ejemplos que requieren de técnicasnuméricas para su solución.
Ejemplo. Encontrar las raíces del polinomio:
Este problema puede resolverse usando el método de bisección o el de la
secante.
Ejemplo. La siguiente tabla corresponde a datos bivariados recogidos
experimentalmente
X

-2

-1

0

1

2

2

y

-5

1

2

3

7

16

Se puede establecer una relación matemática entre X e Y construyendo el
polinomio de menor grado que pase por lospuntos de la tabla o también el
polinomio que mejor ajuste a los datos. Un polinomio nos permitiría
predecir un valor de Y dado algún valor de X.
Ejemplo. Encontrar el área de la región del plano comprendida entre las
funciones:
y
cuando
.
Ejemplo. Determinar el valor de la siguiente integral

Ejemplo. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineal

Ejemplo. Resolver el sistema deecuaciones lineal:

.

Método Numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi
siempre de manera aproximada, una solución de ciertos problemas
realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos.
2

Un algoritmo consiste en una lista finita de instrucciones precisas que
especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que
producen: una aproximación de la solución del problemao un mensaje.
Para este curso se requerirá emplear algunos recursos que están
disponibles de forma gratuita en internet:
Una potente herramienta de cálculo es el programa
 Scilab
Graficadores para PC:
 GeoGebra
Para un dispositivo Android se puede instalar una calculadora y
graficadora:






Calculadora Grafica de Mathlab versión 3.5.89
Mathematics
MATLAB’Mobile
Grapher
Solver

Esta guíaestá basada en las siguientes las referencias:
 para los conceptos del análisis numérico: (Richard L Burden, 2011)
 para las nociones del cálculo: (George B. Thomas, 2010)

3

1. Solución a Ecuaciones de una Variable
Un problema básico en análisis numérico es la búsqueda de las raíces de
una función dada, esto es, encontrar los valores de x para los cuales
f(x)=0. Una solución de este problemase llama un cero de f o una raíz de
f.
Los métodos numéricos para encontrar las raíces de una función se
clasifican en:
 Cerrados
 Abiertos
1.1. Métodos Cerrados
En este tipo de métodos, en cada paso, se genera un intervalo cerrado en
donde se encuentra la raíz buscada. Entre estos métodos tenemos: el
método de bisección y el método de la posición falsa.
Definición de raíz. Sea
y
, una funcióndada. Un número
, se dice una raíz o un cero (en D) de la función f si x=p entonces
tenemos que f(p)=0.
Los métodos numéricos que estudiaremos para encontrar una raíz p de
una función f, generan una sucesión
n = 0, 1, 2, 3,…, tal que
. Dichos métodos nos permitirán calcular los términos de la
sucesión
, por lo que debemos disponer de algún criterio para escoger
un término de la sucesión comoaproximación de la raíz buscada.
Al aplicar un método numérico necesitamos de una aproximación inicial de
la raíz buscada o bien de un intervalo que contenga a dicha raíz.
Esta información puede obtenerse graficando la función.
Ejercicio. Elabore la grafica de las funciones

4

1.2. Método Bisección
El método de bisección consiste en subdividir a la mitad un conjunto de
subintervalos y determinar lamedia aritmética de los extremos de dichos
subintervalos, de tal manera de ir acotando la raíz buscada.
Esta técnica está basada en el teorema del valor intermedio.
Teorema del valor intermedio. Supongamos que tenemos una función
continua f, definida en el intervalo [a,b], con los valores de la función f(a) y
f(b) de signo distinto, esto es f(a)f(b) ˂ 0, entonces existe un numero p
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