calculo I


UNIDAD I

NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES

INTRODUCCION

En este capitulo, observaremos al conjunto de Números Reales R, sus propiedades, teoremas, inecuaciones y valor absoluto.

Descripción del Sistema Numérico

¿Cuáles son los números reales?
Para dar respuesta a esta interrogación, empezaremos identificando a los siguientes conjuntos:

Números Naturales NN = { 1, 2, 3, 4, . . . . . . .}

Números Enteros z
z= { . . . . -3,- 2, -1, 0, }
N  z
Z = z-  {0 }  z+

Números Racionales q
Q = { / m  Z  n  z , n  0 }

NúmerosIrracionales q’ o i

Es el conjunto de los números No Racionales, es decir, aquellos números que no pueden expresarse como fracciones de la forma , con m y n  z , n  0.
Ejemplo:



Por tanto, El conjunto de números Reales R, es la reunión de los números naturales, enteros, racionales e irracionales, es decir:R = N  z  q  i ó R = q  q’


De modo que, Calculo I, realiza los análisis y operaciones en base a los números reales.

Números Reales

Definimos números reales, como el conjunto R, al cual asociamos las operaciones de la adición, multiplicación, relaciones de orden ( 0)
a es cero (a = 0) Leyde tricotomia
a no es positivo (a < 0)
A11: a > 0, b >0  a + b > 0 Clausura de la suma
A12: a > 0, b >0  a ∙ b > 0 Clausura del producto

TEOREMA DE LOS NUMEROS REALES
Un teorema es una proposición que para ser aceptada como verdadera, antes debe ser demostrada. Entre los teoremas más importantes esta:

T1: Si a + c = b + c  a = b
T2: Si ac = b c  a = b

T3: Si a + x = b  x = b – a
T4: Si a + x = a  x = 0
T5: a ∙ 0 = 0
T6: a b = 0  a = 0 o b = 0
T7: a (– b ) = – (a b) = ( –a ) b
T8: – (– a ) = a
T9: ( a b ) = (– a ) ( – b )
T10: a ( b – c ) = a b – a c
T11: a x = b , a  0  x = b / a
T12: ( a b )-1 = a -1 b-1
T13: a + a = 2 a
T14:– a = ( –1 ) a
T15: a0 = 1
T16: a ∙ a = a2
T17: a -n = 1 / an
T18: ( am ) ( an ) = am+n
T19: ( am )n = am∙ n

Demostración de algunos teoremas:
Demostración .- T1: Si a + c = b + c  a = b
a + c = b + c Partimos
a + c + (– c) = b + c + (– c) Sumando el opuesto aditivo
a + [c + (– c)] =b + [c + (– c)] Asociatividad de la suma
a + 0 = b + 0 Existencia del opuesto aditivo
a = b Existencia del Neutro aditivo

Demostración .- T2: Si a c = b c ; c0  a = b
a c = b c Partimos
a c ( c-1) = b c ( c-1 ) Inverso Multiplicativo
a ( cc-1) = b ( c c-1 ) Asociatividad del producto
a ∙ 1 = b ∙ 1 Existencia del inverso multiplicativo

a = b Existencia del Neutro multiplicativo

Definición.- Para todo a y b en R
a + (– b) = a – b

Demostración .- T3: Si a + x = b  x = b – a
a + x = b[a + x ]+ (– a) = b + (– a) Opuesto aditivo
[x + a ]+ (– a) = b + (– a) Conmutatividad
x + [a + (– a)] = b + (– a) Asociatividad
x + 0 = b + (– a) Opuesto aditivo
x = b + (– a) Neutro aditivo
x = b – a Por...