Calculo

UNIVERSIDAD DEL ZULIA


PROGRAMA DE INGENIERÍA


NÚCLEO COSTA ORIENTAL DEL LAGO


UNIDAD CURRICULAR: Calculo IV







































Integrantes:

Br. Castro Carlos C.I: 19.927938

Br. Colombo Aleidymar C.I: 20250.232

Br. Rojas Daimar C.I:20.457.063


Ecuación lineal de primer orden

Las Ecuaciones diferenciales deprimer orden se caracterizan por ser de la forma:

[pic]

Donde [pic]y [pic]son funciones continuas en un intervalo [pic]. La solución de esta ecuación viene dada por:

[pic]

Es Posible encontrar una forma explícita para las soluciones de esta ecuación, la idea consiste en encontrar una función [pic]que nos permita transformar:

[pic]

en la derivada de un producto.

Para ellonecesitamos que [pic]. En efecto, si despejamos p(x) e integramos ambos miembros tenemos [pic]dentro de la integral y por resolución de integrales sabemos que es el logaritmo de w(x). Despejar el logaritmo es convertir en exponencial ambos miembros, y así obtenemos



[pic][pic]

.

Ahora si multiplicamos la ecuación diferencial por [pic]obtenemos:



[pic]

Lo que equivale a escribir:[pic]



[pic]Con [pic].

Finalmente, todas las soluciones de la ecuación diferencial pueden ser calculadas usando la expresión:



[pic]

 

Ecuaciones lineales de orden n

Del mismo modo que se ha definido la ecuación diferencial lineal de primer orden como podemos definir una ecuación diferencial de orden n como:

[pic]



Resolución caso general:

Esta ecuación sedice que es lineal si la función incógnita o sus derivadas no están multiplicadas por si mismas o si tampoco aparecen en forma de funciones compuestas (por ejemplo, sin (y). Una ecuación diferencial lineal de orden superior puede atacarse convirtiéndola en un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Para hacer esto se definen las n funciones incógnita adicionales dadas por:

[pic]Puesto que:

[pic]

El sistema de ecuaciones diferenciales puede escribirse en forma de ecuación matricial como:



[pic]



Resolución con coeficientes constantes

La resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales se simplifica mucho si las ecuaciones son de coeficientes constantes. En el caso de una ecuación de primer orden la búsqueda de un factor integrantenos lleva en la mayoría de los casos a una ecuación en derivadas parciales. Si la ecuación es de orden superior, a no ser que sea una ecuación de Euler o similar, tendremos que proponer una solución que no viene dada, en general, por funciones elementales. En estos casos los métodos preferidos (sin contar el cálculo numérico) son los que emplean series de potencias o series de Fourier. En el casode los sistemas, si la matriz del sistema es de coeficientes constantes podemos resolver el sistema usando el método de los valores propios ya que en ese caso la matriz resultante de la reducción de la ecuación a un sistema de primer orden es constante y puede encontrarse fácilmente su solución calculando la exponencial de la matriz del sistema.

Para estudiar otros métodos de encontrar lasolución a parte de la exponenciación de matrices consideraremos una ecuación del tipo:



[pic]



Donde [pic]son coeficientes constantes conocidos. Observemos que la derivada n-ésima va acompañada por el coeficiente unidad. Definimos el polinomio característico de la ecuación como:



[pic]

que es una ecuación algebraica de orden n. Se demuestra que si hallamos las n raíces [pic]delpolinomio característico la solución de la ecuación homogénea:



[pic]



Al calcular las raíces [pic] del polinomio característico pueden darse los siguientes casos:

• Raíces reales distintas: En este caso la solución viene dada directamente por: [pic] donde[pic], siendo Ck constantes de integración.
• Raíces reales repetidas: Ilustraremos este caso con un ejemplo; sea una...