Cap 8 NUMEROS NATURALES 1



8.1 AXIOMAS DE PEANO
Objetivo:
Se pretende que el estudiante:
Conozca propiedades de los Números Naturales.

Los números naturales se construyen a partir de los Axiomas de Peano:
1.
2. tal que ; donde es llamado sucesor de
3.
4.
5.

Un buen ejercicio consistiría en interpretar estos axiomas.

A continuación presentaremos ciertas propiedades para los números naturales, que podrían serútiles.

La suma de los n números naturales
La suma de los n 2 números naturales
La suma de los números impares
La suma de los números pares
La suma de los n 3 números naturales

Para demostrar que estas propiedades se cumplen para todo n, se puede emplear el método de demostración llamado INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
8.2 (Opcional) Inducción Matemática
Objetivo:
Sepretende que el estudiante:
Aplique el principio de inducción matemática para demostraciones.

La Inducción Matemática consiste de dos pasos:
1. Verificar que se cumple para el primer o los primeros números, es decir comprobar que .
2. Asumir que, si se cumple para todo número n, entonces se deberá cumplir también para su sucesor n+1; es decir, .

Ejemplo
Demostrar, empleando el método deinducción matemática, que:
Paso 1. Verifiquemos p(1), aunque más interesante sería obtener p(2), p(3)
se cumple
PASO 2. Asumir que si la propiedad es válida para , entonces deberá ser válida para sus sucesor, para lo cual, a la igualdad sumamos a ambos miembros

Note que la expresión algebraica puede ser expresada en términos de su sucesor , por tanto la propiedad es válida para todos losnaturales.

Ejercicio propuesto 8.1
Demuestre el resto de propiedades de los números naturales, mencionadas


8.3 FACTORIAL

Objetivos:
Se pretende que el estudiante:
Defina y calcule factorial de un número natural y del cero.
Defina y calcule coeficiente binomial.

Sea , entonces el factorial de , denotado por , se define como:

Entonces:

...
y así sucesivamente.


8.4 Teorema del BinomioObjetivos:
Se pretende que el estudiante:
Desarrolle binomios aplicando el teorema de Newton.
Infiera la fórmula del término general en el desarrollo del binomio.
Aplique la fórmula del término general para encontrar cualquier término en el desarrollo de un binomio dado y para resolver otras situaciones diversas.

Para obtener el desarrollo del binomio tenemos dos opciones: El teorema dePascal y el teorema Newton.

8.4.1 Teorema de Pascal

Los coeficientes del desarrollo del binomio , están de acuerdo al siguiente esquema:









Lo anterior se vuelve inaplicable cuando n es un número grande.

8.4.2 Teorema de Newton
El desarrollo del binomio , está dado por:
Lo cual resulta una manera muy práctica y sencilla de obtener los términos del desarrollo del binomio, aunquefuese un número grande.
Este teorema puede ser demostrado por el método de Inducción Matemática.
Note que:
1. Cualquier término del desarrollo, tiene la forma:
Término General
Donde:
exponente del binomio
primer término
segundo término
# término –1

2. A los coeficientes del desarrollo se les ha dado forma . La cual se la calcula mediante la siguientedefinición:
donde ¿Por qué?

Ejemplo
Si y tenemos

Además, si entonces

Y si tenemos

3. La cantidad total de términos del desarrollo del binomio es . ¿Por qué?

Bien, ahora analicemos diversos ejercicios resueltos.

Ejercicios resuelto 1
Hallar el término cuarto en el desarrollo del binomio de
SOLUCIÓN:
= Entonces
Reemplazando en tenemos:Ejercicios resuelto 2
El Coeficiente del término en el desarrollo de es:
a) 492 b) 592 c) 692 d) 792 e) 892
SOLUCIÓN:
Aquí en cambio, no conocemos el número del término, pero sabemos que el término referido en el desarrollo del binomio tiene como parte literal a
Además conocemos que
Reemplazando y simplificando en , tenemos:




Como el exponente de la “x” debe ser 3, entonces:...