Cap10 Catenarias

Capítulo 10
Parábolas y Catenarias
Objetivo
En este capítulo nos proponemos estudiar la forma que adopta una cuerda flexible o una
cadena sostenida por sus extrememos con y sin pesos adicionales. Deseamos comparar
las formas que adquieren estas cadenas en la realidad y comparar con las expectativas
teóricas usando las leyes de la estática. Los arcos sometidos a tracción simple son de
muchaimportancia e interés en la arquitectura ingeniería, ya que permiten realizar
construcciones con materiales tradicionales.
Introducción. Es una experiencia común encontrar cuerdas, cables flexibles y cadenas
suspendidas de dos puntos.1,2 Un ejemplo imponente y bello lo constituyen los cables de
los puentes colgantes, como por ejemplo el Golden Gate de San Francisco. El problema
de describirmatemáticamente la forma de una cadena suspendida por sus extremos fue
resuelto por Jakob Bernoulli en 1690, muchos científicos prominentes trataron este
problema, entre otros Galileo, Leibniz, Huygens y Euler.3 Consideremos una cadena
de longitud Lc y masa Mc suspendida de sus extremos como se ilustra en la figura 10.1.
Si suponemos que la distancia horizontal entre los puntos de suspensión es L y las
alturasde dichos puntos de suspensión, medidos respecto del punto más bajo de la
cuerda, que tomamos como origen de coordenadas, son h1 y h2. La forma que adopta la
cuerda o cadena (catenaria) viene descripta por la función y(x), donde x es la
coordenada horizontal.2
A)

y

B)
h1

h2

H(x)

V(x+dx)

T(x+dx)

ds
H(x+dx)

x
T(x)

dP=δ(x).ds
V(x)

L
Figura 10.1. A) Cadena o cuerda flexible suspendida porsus extremos de dos puntos
fijos. Las coordenadas de dichos puntos son (-L2,h2) y (L1,h1), con L1+L2=L. B) Fuerzas
que actúan sobre un segmento infinitesimal de cuerda de longitud ds.
El peso del elemento infinitesimal de longitud ds es dP=δ(x).g.ds, siendo g el valor de
la aceleración de la gravedad y δ(x) la masa por unidad de longitud de la cuerda o
cadena, o sea su densidad lineal de masa en elpunto de coordenadas x, si dicha densidad
fuese constante, entonces δ(x)=Mc/Lc.. T(x) designa el valor de la tensión de la cuerda o
cadena en el punto de coordenada x, en la dirección de la tangente a la curva y(x). V(x) y
Experimentos de Física – S. Gil 2011

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H(x) designan las componentes horizontales y verticales de la tensión T(x). Del
requerimiento físico de equilibrio de las fuerzas enla dirección x e y tenemos:
H ( x + dx) = H ( x) = H 0 ,
(10.1)
donde H0 representa la tensión de la cuerda o cadena en su vértice, donde dy/dx=0 y
V ( x + dx ) − V ( x ) = dV = dP = δ ( x ) ⋅ g ⋅ ds ,
(10.2)
de la geometría del problema, podemos escribir:

V ( x) dy
=
.
H ( x) dx

(10.3)

Combinado (10.1), (10.2) y (10.3) tenemos:
dV =

dV
d2y
⋅ dx = 2 ⋅ H 0 ⋅ dx = δ ( x ) ⋅ g ⋅ ds .
dx
dx(10.4)

Dado que ds = 1 + (dy / dx ) , (10.4) se puede escribir como:
2

2

d 2 y δ ( x) ⋅ g
 dy 
=
⋅ 1+   ,
2
dx
H0
 dx 

(10.5)

si definimos:
g
,
H0
la ecuación diferencial de la forma de la cadena (10.5) se puede escribir como:
2
  dy 2 
 d2y 
 2  = λ2 ( x) ⋅ 1 +    .
  dx  
 dx 

λ ( x) = δ ( x) ⋅

(10.6)

(10.7)

Si definimos z(x)=dy/dx, la ecuación (10.7) puedeintegrarse fácilmente.

∫

dz
1+ z2

= ∫ λ ( x) ⋅ dx ⇒ z = sinh(λ ⋅ u ( x)) ,

(10.8)

donde
u ( x) ≡ ∫ λ ( x) ⋅ dx .

(10.9)

Si la densidad de masa fuese constante, δ(x)=Mc/Lc y λ=Mc.g/(H0.Lc). Las expresiones
anteriores conducen a:
dy ( x)
= sinh(λ ⋅ x) + c1 .
(10.10)
z ( x) ≡
dx
Si elegimos nuestro sistema de ejes coordenadas tal que el origen coincide con el punto
más bajo de la cadena, donde latangente (z=dy/dx) es nula, c1=0. Integrando una vez
más, obtenemos la ecuación de la cadena o catenaria y(x) buscada:

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y ( x) =

1

λ

cosh(λ ⋅ x) + c .

(10.11)

Las constantes c y λ se pueden determinar haciendo cumplir las condiciones de borde:
para x=L1, y=h1 y x=-L2, y=h2. Por simplicidad, en los que sigue supondremos que
h1=h2=h y L1=L2=L/2....