catenaria

La catenaria
Carlos Ivorra
http://www.uv.es/ivorra
Introducci´n La catenaria es la curva cuya forma es la
o
1
que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por
sus dos extremos y sometida unicamente a la fuerza de la
´
0.8
gravedad. En sentido estricto, no es una curva, sino una
familia de curvas, cada una de las cuales est´ determinada
a
0.6
por las coordenadas de sus extremos(x0 , y0 ), (x1 , y1 ) y por
0.4
su longitud L. En principio, tambi´n podr´ depender de
e
ıa
su densidad ρ y de la intensidad del campo gravitatorio g,
0.2
pero lo cierto es que, seg´n veremos, no es as´
u
ı.
Por ejemplo, la figura muestra la catenaria de longitud
0.2
0.4
0.6
1
0.8
L = 2 sujeta por los puntos (0, 1) y (1, 1). Vemos que se
parece mucho a una par´bola. De hecho,Galileo crey´ que las catenarias eran par´bolas,
a
o
a
pero veremos que no lo son. En primer lugar vamos a encontrar la expresi´n anal´
o
ıtica de
las catenarias.
La expresi´n anal´
o
ıtica Llamemos y(x) a la funci´n que estamos buscando, definida
o
sobre un intervalo [x0 , x1 ] y sujeta a las condiciones iniciales y(x0 ) = y0 , y(x1 ) = y1 .
Adem´s exigimos que su longitud sea igual a unvalor prefijado L, es decir, que
a
x1

1 + y (x)2 dx = L.

x0

M´s en general, consideramos la longitud de arco s : [x0 , x1 ] −→ [0, L] dada por
a
x

1 + y (x)2 dx,

s(x) =
x0

que es una funci´n creciente, derivable, con derivada
o
ds
=
dx

1 + y (x)2 > 0,

por lo que tiene inversa s(x), la cual nos da la parametrizaci´n por la longitud de arco,
o
2
φ : [0, L] −→ R ,dada por φ(s) = (x(s), y(s)), donde y(s) = y(x(s)). De este modo, la
longitud del arco comprendido entre φ(s) y φ(s + ∆s) es exactamente |∆s|.
Que la cuerda tenga densidad uniforme ρ significa, por definici´n, que la masa de un
o
arco de cuerda de longitud ∆s es exactamente ρ∆s.
Llamaremos α(s) al angulo que forma con la horizontal la tangente a la cuerda en
´
φ(s). La interpretaci´ngeom´trica de la derivada equivale a que
o
e
y (x) = tan α(s(x)).
1

1
Consideremos un punto cualquiera de la cuerda (es decir, un punto φ(s), para un cierto s ∈ [0, L]). La fuerza
0.8
de cohesi´n que mantiene unida la cuerda por dicho punto
o
—la fuerza que desaparecer´ si cort´ramos la cuerda—
ıa
a
0.6
est´ representada por dos vectores de tensi´n opuestos,
a
o
0.4
T (s) y −T (s),donde convenimos que T (s) es el que tiene
T (s)
su componente horizontal positiva. Concretamente, T (s)
0.2
es la fuerza que la parte de la cuerda posterior a s ejerce
0.2
0.4
0.6
1
0.8
sobre la parte anterior y −T (s) es la fuerza que la parte
anterior de la cuerda ejerce sobre la parte posterior. Si, como en la figura, consideramos
un punto donde la curva es creciente, podemos decir, m´sdescriptivamente, que T (s) es
a
la fuerza con la que la parte superior de la cuerda “sostiene” de la parte inferior, mientras que −T (s) es la fuerza con la que la parte inferior de la cuerda “estira” de la parte
superior. En los puntos donde la curva es decreciente se invierten los papeles. Que ambas
tensiones tengan la misma direcci´n e intensidad, pero sentidos opuestos, es consecuenciao
de la tercera ley de Newton: la fuerza que ejerce una parte de la cuerda sobre la otra ha
de ser exactamente la opuesta de la que la otra ejerce sobre la primera. Es claro que su
direcci´n debe ser la de la tangente a la curva1 , luego podemos descomponer T (s) como
o

T (s) = (T (s) cos α(s), T (s) sen α(s)).
Alguien podr´ pensar que sobre el punto α(s) se ejerce una tercera fuerza, asaber, el
ıa
peso, pero debemos recordar que los puntos no tienen masa, por lo que tampoco tienen
peso. Para tener en cuenta el peso hemos de considerar, no un punto, sino un arco de
cuerda, digamos el correspondiente al intervalo de par´metros [s, s + ∆s].
a
Dicho arco est´ sometido a tres fuerzas: su peso 0.8
a
0.7

P = (0, −ρg∆s)

0.6

y las tensiones con las que la cuerda “tira”...