CLASE 04

Cálculo II

Tema 1. Integral indefinida o antiderivada

SEMANA 02. CLASE 04. MARTES 17/03/15
10. Método de integración: integración por partes.
10.1. Fundamentos.
Esta técnica se basa en la derivación de un producto de funciones:

(u.v)'(x) = u '(x).v(x) + u(x).v '(x) .
Integrando a ambos lados se tiene

∫

(u.v)'(x)dx =

∫

u '(x).v(x)dx +

∫

u(x).v '(x)dx

de donde:

∫

u(x).v '(x)dx =u(x).v(x) −

∫

int egral original

u '(x).v(x)dx

int egral auxiliar

Para el éxito de esta técnica se debe tener presente entre otras cosas:
• Elegir v’ entre los factores de la integral original, de forma que se obtenga v sin
dificultad
• La integral auxiliar debe ser fácil de calcular
En la práctica, el proceso de elegir una expresión para u y otra para dv no es siempre
sencillo y no existe unatécnica general para efectuar dicho proceso.
10.2. Ejemplo ilustrativo 20.
Resuelva la integral

∫

x ln(x)dx .

Solución.

u = ln(x) ⇒ du = dx x , dv = xdx ⇒ v = x2 2

∫

x ln(x)dx =

x2
1
ln(x) −
2
2

∫

xdx =

x2
x2
ln(x) −
+C
2
4

10.3. Ejemplo ilustrativo 21.
Resuelva la integral

∫

x2 cos(x)dx .

Solución.

José Luis Quintero

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u = x2⇒ du = 2xdx , dv = cos(x)dx ⇒ v = sen(x)

∫

x2 cos(x)dx = x2sen(x) − 2

∫

xsen(x)dx

u = x ⇒ du = dx , dv = sen(x)dx ⇒ v = − cos(x)

∫
∫

xsen(x)dx = −x cos(x) +

∫

cos(x)dx = −x cos(x) + sen(x) + C

x2 cos(x)dx = x2sen(x) − 2(−x cos(x) + sen(x)) + C

10.4. Ejemplo ilustrativo 22.
Resuelva la integral

∫

ex cos(x)dx .

Solución.

u = ex ⇒ du = ex dx , dv = cos(x)dx ⇒ v = sen(x)

∫

excos(x)dx = ex sen(x) −

∫

ex sen(x)dx

u = ex ⇒ du = ex dx , dv = sen(x)dx ⇒ v = − cos(x)

∫
∫

∫
∫

ex sen(x)dx = −ex cos(x) +
ex cos(x)dx = ex sen(x) −

ex cos(x)dx

ex sen(x)dx

= ex sen(x) + ex cos(x) −

∫

ex cos(x)dx =

∫

ex cos(x)dx

1 x
[e sen(x) + ex cos(x)] + C
2

10.5. Ejemplo ilustrativo 23.
Resuelva la integral

∫

arcsen(x)dx .

Solución.

u = arcsen(x) ⇒ du =

∫

dx
1 − x2

arcsen(x)dx= xarcsen(x) −

, dv = dx ⇒ v = x

∫

x
1 − x2

dx = xarcsen(x) +

∫

du

= xarcsen(x) + u + C = xarcsen(x) + 1 − x2 + C
(u2 = 1 − x2 ⇒ 2udu = −2xdx ⇒ −udu = xdx)

José Luis Quintero

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10.6. Ejemplo ilustrativo 24.
Resuelva la integral

∫

sen(ln(x))dx .

Solución.

u = sen(ln(x)) ⇒ du =

∫

cos(ln(x))
dx , dv = dx ⇒ v = x
xsen(ln(x))dx = xsen(ln(x)) −

u = cos(ln(x)) ⇒ du = −

∫
∫
∫

∫

cos(ln(x))dx

sen(ln(x))
dx , dv = dx ⇒ v = x
x

cos(ln(x))dx = x cos(ln(x)) +

∫

sen(ln(x))dx

sen(ln(x))dx = xsen(ln(x)) − x cos(ln(x)) −
sen(ln(x))dx =

∫

sen(ln(x))dx

1
x(sen(ln(x)) − cos(ln(x))) + C
2

10.7. Ejemplo ilustrativo 25.
Si

In =

∫

xn
x2 + 5

dx , n ≥ 2

pruebe que

In =

xn −1
n

x2 + 5 −

5(n − 1)
In − 2
n

y aplique loanterior al caso

∫

x5
x2 + 5

dx .

Solución.
Integrando por partes:

u = xn −1 ⇒ du = (n − 1)xn − 2dx , dv =

∫

In = xn −1 x2 + 5 − (n − 1)
n −1

=x

x
x +5
2

dx ⇒ v =

x2 + 5

∫

xn − 2 x2 + 5dx = xn −1 x2 + 5 − (n − 1)

xn − 2
x +5
2

(x2 + 5)dx

x + 5 − 5(n − 1)In − 2 − (n − 1)In
2

xn −1
5(n − 1)
x2 + 5 −
In − 2 + C
n
n
Aplicando la fórmula anterior para el caso n = 5 se tiene que
nIn =xn −1 x2 + 5 − 5(n − 1)In − 2 + C ⇒ In =

José Luis Quintero

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I5 =

x4
5

x2 + 5 −

I3 =

x2
3

x2 + 5 −

I5 =

x4
5

I1 =

∫

5(5 − 1)
x4
I5 − 2 + C =
5
5

x2 + 5 − 4I3 + C

5(3 − 1)
x2
10
I1 + C =
x2 + 5 −
I +C
3
3
3 1
 x2
10 
x4
4x2
x2 + 5 − 4 
x2 + 5 −
I1  + C =
x2 + 5 −
 3
3 
5
3

x

x +5
2

dx =

∫

u
du =
u

∫

du = u +C =

x2 + 5 +

40
I +C
3 1

x2 + 5 + C

u = x + 5 ⇒ 2udu = 2xdx ⇒ udu = xdx
2

I5 =

2

x4
5

x2 + 5 −

4x2
3

x2 + 5 +

40
x2 + 5 + C =
3

 x4 4x2 40 
x2 + 5 
−
+
+C
 5
3
3 


10.8. Ejemplo ilustrativo 26.
a) Halle una fórmula de recurrencia para calcular la integral

∫

[ln(x)]n dx , n ≥ 1 .

b) Calcule la integral

∫

[ln(x)]3 dx ,

usando la fórmula hallada en el apartado anterior....