Clases 11 12
Páginas: 13 (3098 palabras)
Publicado: 2 de noviembre de 2015
at
eU
P
N
iv
e
M
iv
ee
n
at
eU
P
P
N
M
iv
ee
n
P
resultando en dos ecuaciones con dos incognitas. La soluci´on es x = 110 personas adultas y por
tanto y = 215 ni˜nos fueron al museo.
at
eU
En est´a clase estudiaremos ese tipo de problemas.
P
Definici´on 60 (Sistema de ecuaciones lineales).
at
eU
N
Un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 inc´ognitas es un conjunto de ecuacionesque
se representa por
a11 x1 + a12 x2 = b1
(11.1)
a21 x1 + a22 x2 = b2
M
donde las constantes aij , bi ∈ R son llamadas coeficientes del sistema.
x + y = 325
9x + 7y = 2495
iv
ee
n
M
at
eU
N
Ejemplo 106. En el problema anterior, el sistema de ecuaciones lineales es:
P
73
P
Observaci´on. El conjunto soluci´on del sistema definido por (11.1) es el conjunto de los valores
x1 , x2 quesatisfacen las m ecuaciones simult´aneamente, el cual se representa como un conjunto
de puntos de la forma (x1 , x2 ).
U
M
at
eU
N
Imaginemos la siguiente situaci´on: Un museo cobra 9 soles la entrada por adulto y 7 soles
por menores de edad. En un d´ıa con una asistencia de 325 personas se recaud´o 2495 soles. Nos
preguntamos ¿cu´antos adultos y cu´antos menores de edad fueron al museo ese d´ıa?Denotemos por x e y al n´umero de personas adultas y ni˜nos, respectivamente, que fueron al museo.
Luego,
Asistencia :
x + y = 325
Recaudaci´on : 9x + 7y = 2495
N
M
Sistema de ecuaciones lineales
n
n
11
N
at
e
M
n
Clase
M
iv
ee
n
at
eU
P
Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es consistente cuando tiene al menos una
soluci´on, en otro caso diremos que es inconsistente.
NDefinici´on 61 (Sistemas consistes e inconsistentes).
Ejemplo 108. Con respecto al Ejemplo 106 podemos decir que es un sistema consistente.
P
x+y = 1
2x + 2y = 3
M
P
Asociado al sistema (11.1), nos preguntamos ¿bajo qu´e condiciones podemos decir que es
consistente? m´as a´un, si el sistema es consistente ¿bajo qu´e condiciones tiene soluci´on u´ nica? y por
u´ ltimo ¿cu´ando un sistema esinconsistente? Con el objetivo de responder a dichas interrogantes
enunciamos las siguientes propiedades.
iv
ee
n
El sistema 11.1 es consistente con soluci´on u´ nica si y solo si
P
a11 a22 − a21 a12 = 0.
x + y = 325
9x + 7y = 2495
at
eU
N
Ejemplo 110. Con respecto al problema inicial el sistema es
M
Propiedades.
Si todos los coeficientes del sistema 11.1 son diferentes de cero entonces:iv
ee
n
N
a11
a12
b1
=
= .
a21
a22
b2
74
P
2. El sistema es inconsistente si y solo si
a11
a12
b1
=
= .
a21
a22
b2
U
M
at
eU
1. El sistema es consistente con infinitas soluciones si y solo si
N
resultando que a11 a22 − a21 a12 = 1 × 7 − 1 × 9 = −2 = 0. Por lo tanto tiene soluci´on u´ nica.
P
M
at
eU
´
Propiedades (Unica
soluci´on).
N
at
eU
podemos ver que si restamos la segundaecuaci´on con la primera deducimos que x + y = 2 pero
x + y = 1, lo cual implica que 1 = 2 siendo esto absurdo e implicando que dicho sistema es
inconsistente.
N
M
Ejemplo 109. Si consideramos el siguiente sistema
n
n
at
eU
P
N
iv
e
at
e
M
n
Ejemplo 107. En el Ejemplo 106 el conjunto soluci´on viene dado por {(110, 215)}.
x−y = 1
−x + y = −1
iv
ee
n
inconsistente.
N
M
√
x + x + y =32
√
, determine el valor de xy.
y + x + y = 31
mx + y = 1
. Determine los valores de m para que dicho sistema sea
x + my = m2
iv
ee
n
at
eU
P
2. Al resolver el sistema
−x + 4y = −6
.
2x − 3y = 7
at
eU
N
N
P
(m − 1)x + y = 1
. Determine los valores de m para que dicho sistex + (m + 1)y = m2
ma sea consistente con infinitas soluciones.
4. Dado el sistema
at
eU
n
5. (PC3-2013-II)Determine los valores de a para que el sistema de ecuaciones lineales
x + 2y = 3a
(a − 1)y = a + 1
2
M
sea consistente con soluci´on u´ nica.
N
(5 − λ)x + 2y = 1
2y + (1 − λ)y = 2
iv
ee
n
M
at
eU
P
6. Determine los valores de λ para que el sistema de ecuaciones lineales
N
75
P
no sea consistente con soluci´on u´ nica.
U
M
Ejercicios para la clase
1. Resuelva el siguiente sistema
M...
eU
P
N
iv
e
M
iv
ee
n
at
eU
P
P
N
M
iv
ee
n
P
resultando en dos ecuaciones con dos incognitas. La soluci´on es x = 110 personas adultas y por
tanto y = 215 ni˜nos fueron al museo.
at
eU
En est´a clase estudiaremos ese tipo de problemas.
P
Definici´on 60 (Sistema de ecuaciones lineales).
at
eU
N
Un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 inc´ognitas es un conjunto de ecuacionesque
se representa por
a11 x1 + a12 x2 = b1
(11.1)
a21 x1 + a22 x2 = b2
M
donde las constantes aij , bi ∈ R son llamadas coeficientes del sistema.
x + y = 325
9x + 7y = 2495
iv
ee
n
M
at
eU
N
Ejemplo 106. En el problema anterior, el sistema de ecuaciones lineales es:
P
73
P
Observaci´on. El conjunto soluci´on del sistema definido por (11.1) es el conjunto de los valores
x1 , x2 quesatisfacen las m ecuaciones simult´aneamente, el cual se representa como un conjunto
de puntos de la forma (x1 , x2 ).
U
M
at
eU
N
Imaginemos la siguiente situaci´on: Un museo cobra 9 soles la entrada por adulto y 7 soles
por menores de edad. En un d´ıa con una asistencia de 325 personas se recaud´o 2495 soles. Nos
preguntamos ¿cu´antos adultos y cu´antos menores de edad fueron al museo ese d´ıa?Denotemos por x e y al n´umero de personas adultas y ni˜nos, respectivamente, que fueron al museo.
Luego,
Asistencia :
x + y = 325
Recaudaci´on : 9x + 7y = 2495
N
M
Sistema de ecuaciones lineales
n
n
11
N
at
e
M
n
Clase
M
iv
ee
n
at
eU
P
Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es consistente cuando tiene al menos una
soluci´on, en otro caso diremos que es inconsistente.
NDefinici´on 61 (Sistemas consistes e inconsistentes).
Ejemplo 108. Con respecto al Ejemplo 106 podemos decir que es un sistema consistente.
P
x+y = 1
2x + 2y = 3
M
P
Asociado al sistema (11.1), nos preguntamos ¿bajo qu´e condiciones podemos decir que es
consistente? m´as a´un, si el sistema es consistente ¿bajo qu´e condiciones tiene soluci´on u´ nica? y por
u´ ltimo ¿cu´ando un sistema esinconsistente? Con el objetivo de responder a dichas interrogantes
enunciamos las siguientes propiedades.
iv
ee
n
El sistema 11.1 es consistente con soluci´on u´ nica si y solo si
P
a11 a22 − a21 a12 = 0.
x + y = 325
9x + 7y = 2495
at
eU
N
Ejemplo 110. Con respecto al problema inicial el sistema es
M
Propiedades.
Si todos los coeficientes del sistema 11.1 son diferentes de cero entonces:iv
ee
n
N
a11
a12
b1
=
= .
a21
a22
b2
74
P
2. El sistema es inconsistente si y solo si
a11
a12
b1
=
= .
a21
a22
b2
U
M
at
eU
1. El sistema es consistente con infinitas soluciones si y solo si
N
resultando que a11 a22 − a21 a12 = 1 × 7 − 1 × 9 = −2 = 0. Por lo tanto tiene soluci´on u´ nica.
P
M
at
eU
´
Propiedades (Unica
soluci´on).
N
at
eU
podemos ver que si restamos la segundaecuaci´on con la primera deducimos que x + y = 2 pero
x + y = 1, lo cual implica que 1 = 2 siendo esto absurdo e implicando que dicho sistema es
inconsistente.
N
M
Ejemplo 109. Si consideramos el siguiente sistema
n
n
at
eU
P
N
iv
e
at
e
M
n
Ejemplo 107. En el Ejemplo 106 el conjunto soluci´on viene dado por {(110, 215)}.
x−y = 1
−x + y = −1
iv
ee
n
inconsistente.
N
M
√
x + x + y =32
√
, determine el valor de xy.
y + x + y = 31
mx + y = 1
. Determine los valores de m para que dicho sistema sea
x + my = m2
iv
ee
n
at
eU
P
2. Al resolver el sistema
−x + 4y = −6
.
2x − 3y = 7
at
eU
N
N
P
(m − 1)x + y = 1
. Determine los valores de m para que dicho sistex + (m + 1)y = m2
ma sea consistente con infinitas soluciones.
4. Dado el sistema
at
eU
n
5. (PC3-2013-II)Determine los valores de a para que el sistema de ecuaciones lineales
x + 2y = 3a
(a − 1)y = a + 1
2
M
sea consistente con soluci´on u´ nica.
N
(5 − λ)x + 2y = 1
2y + (1 − λ)y = 2
iv
ee
n
M
at
eU
P
6. Determine los valores de λ para que el sistema de ecuaciones lineales
N
75
P
no sea consistente con soluci´on u´ nica.
U
M
Ejercicios para la clase
1. Resuelva el siguiente sistema
M...
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