CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

TAREA 1: CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

FUNCIÓN SUPRAYECTIVA
Una función f (de un conjunto A a otro B) es suprayectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es suprayectiva si y sólo si f(A) = B.
Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.
Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los númerosnaturales  al de los números pares no negativos es sobreyectiva.
Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  a  no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de  va al 3 por esta función.
Otras formas de definirse:
Una función f:X→Y es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva), si esta aplicado sobre todo el codominio, es decir ,cuando a cada elemento  de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

De manera complementaria:
Funciones suprayectivas. Cuando el rango y el condominio son iguales la función es suprayectiva.
 Ejemplo 1: Sean los conjuntos:
A = {1,2,3} y  B = {2,4}  y la función  f = {(1,2), (2,2), (3,4)} 
Gráficamente queda: 
Al conjunto B = {2,4} se le llama codominio.  El rango de la función también es I= {2,4}.Como el codominio y el rango son iguales la función es SUPRAYECTIVA.
Ejemplo 2. 
Sean los mismos conjuntos anteriores PERO con la función:  f = {(1,2), (2,2), (3,2)}.
Gráficamente
El codominio B = {2, 4} El rango o imagen es: I = {2} Como el codominio y el rango NO son iguales la función es NO SUPRAYECTIVA. En términos de funciones debe ocuparse todo el eje Y, es decir, la imagen debenser todos los reales.
FUNCIÓN INYECTIVA

Ejemplo de función inyectiva.
En matemáticas, una función es inyectiva si a elementos distintos del conjunto (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto (imagen) de . Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una anti imagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la mismaimagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales, dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como y . Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.
Definición formal: De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:
Si sonelementos de tales que , necesariamente se cumple .
Si son elementos diferentes de , necesariamente se cumple
Simbólicamente,

que es equivalente a su contrarecíproco


Cardinalidad e inyectividad: Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen:

Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicaciónbiyectiva entre A y B.

Ejemplos
Para cualquier conjunto X y subconjunto S de X el mapa de inclusión S → X (el cual envía cualquier elemento s de S para sí mismo) es inyectiva. En particular, la función identidad X → X es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva).
La función f : R → R definida por f(x) = 2x + 1 es inyectiva.
La función g : R → R definida por g(x) = x2 no es inyectiva, porque (porejemplo) g(1) = 1 = g(−1). No obstante, si g se redefine de manera que su dominio es los números reales no negativos [0,+∞), entonces g es inyectiva.
La función exponencial exp : R → R definida por exp(x) = ex es inyectiva (pero no sobreyectiva, porque no genera números negativos, los cuales no tienen relación con ningún valor de x).
El logaritmo natural En la función ln : (0, ∞) → R definida por x ↦ lnx es inyectiva.
La función g : R → R definida por g(x) = xn − x no es inyectiva, ya que, por ejemplo, g(0) = g(1).
En términos más generales, cuando X e Y están ambos en la recta real R, a continuación, una función inyectiva f : R → R es aquella cuya gráfica nunca es cruzada por una línea horizontal más de una vez. Este principio se conoce como la prueba de línea horizontal.
Inyectividad en el...