CLAVE SEGUNDO PARCIAL 4

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÀTICA
CLAVE DE EXAMEN

CURSO:

Matemática Básica 2

SEMESTRE:

Segundo

CODIGO DEL CURSO:

102

TIPO DE EXAMEN:

Segundo Parcial

FECHA DE EXAMEN:

24/10/2007

NOMBRE DE LA PERSONA QUE
RESOLVIO EL EXAMEN:

Abner García

NOMBRE DE LA PERSONA QUE
DIGITALIZÒ EL EXAMEN:

Carlos Díaz

DEPARTAMENTO DE MATEMATICASFACULTA DE INGENIERIA
USAC
SEGUNDO PARCIAL
SECCION S

TEMARIO B
TEMA 1
Un tanque en forma de cono circular invertido (cono de helado) tiene una altura
de 12 pies y un radio de 6 pies en la base, el agua fluye al tanque a razón de 8
pies cúbicos por minuto, ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando esta
tiene 4 pies de profundidad?

TEMA 2
Determinar la distancia más corta del punto A (2, ½ ) a unpunto sobre la
2
y

x
parábola
además encuentre el punto sobre la parábola que esta más
próximo a A.

TEMA 3
Para la ecuación

x

1
2

cos x

se le pide, redefinirla y encontrar el

x 3 , x o  0. 5 .

TEMA 4
3
2
Para la ecuación fx  x  x  5x  444 grafique y trabaje todo lo aportado
por la primera y segunda derivada, realice las tablas correspondientes y deje
constancia de todo lotrabajado.

TEMA 1
Un tanque en forma de cono circular invertido (cono de helado) tiene una
altura de 12 pies y un radio de 6 pies en la base, el agua fluye al tanque a
razón de 8 pies cúbicos por minuto, ¿Qué tan rápido sube el nivel del
agua cuando esta tiene 4 pies de profundidad?
SOLUCIÓN

dv
dt

8

pies
min

Función objetivo

V


3

r 2h

Utilizando relación de triángulos se deja la
funciónobjetivo en términos de h debido a que
queremos obtener el diferencial de la altura
respecto al tiempo.
r
6

h
 12
r  6h

12

h
2

Sustituyendo en función objetivo r:
 h 2
  h
3 2
 3
h
12

V
V

Derivando respecto a t:

dV
dt
dV
dt




3 2
dh
h

12
dt
 2 dh
h dt
4

Sustituyendo valores y evaluando h=4

8
8
4
dh
dt


4




4 2 dh
dt
dh
dt
2


 0. 6366

si

dV
dt

8

pies
dh
minencontrar dt

?

R//

pies
min

La rapidez del nivel del agua cuando esta
tiene 4 pies de profundidad es de 0.6366
pies/min.

TEMA 2
Determinar la distancia más corta del punto A (2, ½ ) a un punto sobre la
parábola y  x además encuentre el punto sobre la parábola que esta
más próximo a A.
2

SOLUCIÓN
y

Debido a que queremos conocer la
distancia mínima usaremos la ecuación de
la distancia como laecuación objetivo:

d

9
8
7
6
5

x  x o  2  y  y o 2

4
3

- Utilizando el Punto inicial como:

2
1

(2, ½ ) y el punto final como (x , y)
-3

- Para dejar la función en términos de X se

-2

-1

0

1

2

3

x

utiliza y  x en el punto final dejando
dicho punto como ( x , x² )
2

Dejando dicha ecuación de la siguiente manera:

dx 

x  2 2  x 2 

dx 

x 4  4x 

1
2

2

17
4Para obtener un mínimo de esa función se procede a derivar la misma
utilizando la regla de la cadena:

d´x 

1
2

x 4  4x 

17
4

 1/2  4x 3  4

Utilizando el criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.

d´x 

4x 3 4
2x 4 4x 17
1/2
4



2x 3 1
x 4 4x 17
1/2
4

0

2x 3  1  0
x  31  1
Después de encontrar el punto en el que la función es mínimasustituir en la
2
ecuación y  x para obtener el punto y evaluarlo en la ecuación de la
distancia:

R//

y  1 2  1
P  1, 1
dx, y 
dx, y 

1  2  1 
2

5
4



5
2

1
2



 1. 118

2

La distancia mínima del punto (2,1/2) hacia
la función es de 1.118u, el punto es (1,1).

TEMA 3
Para la ecuación
x o  0. 5 .

x

1
2

cos x

se le pide, redefinirla y encontrar el

x3 ,

Redefiniendo:x  12 cos x
fx  12 cos x  x
Utilizando el método de Newton tenemos:

x n1  x n 
fx 

1
2

fx
f‘x

f  x   12 sin x  1

cos x  x

Utilizando x o  0. 5 se obtiene X1 de la siguiente manera:

x 01  0. 5 

1
2

cos0.50.5
 12 sin0.51

 0. 450 63

x 1 0. 450 63
Con X1 se obtiene X2 y así sucesivamente hasta encontrar X3.
NOTA: para resolver con una calculadora...